보험계리사 1차 객관식 보험수학 2018년 기출문제

무리방정식 $x^2 - 6x - \sqrt{x^2 - 6x - 1} = 3$의 모든 실근의 곱을 구하시오.

$f(x) = e^{x+1}(x^2 + 3x + 1)$이 구간 $(a, b)$에서 감소함수일 때, $b-a$의 최대값을 구하시오.

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \ln \frac{(n+1)(n+2)}{4}$이고 $\sum_{k=1}^{30} a_{2k} = b$이면 $e^b$의 값을 구하시오.

자연수 $n$에 대해 $f(n) = \sum_{r=0}^{n} C_r \left(\frac{1}{8}\right)^r$일 때, $\log f(n) > 1$을 만족시키는 $n$의 최소값을 구하시오. (단, $\log$는 상용로그이며, $\log 2 = 0.3010$, $\log 3 = 0.4771$)

함수 $f(x) = 2x^3 \sqrt{4-x^2}$의 최대값과 최소값의 합을 구하시오.

일차변환 $f$를 나타내는 행렬 $A$가 다음과 같다. $$A = \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix}$$ 이 때 합성변환 $f \circ f$에 의해 점 $(1, -1)$이 옮겨지는 점의 좌표를 구하시오.

다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$가 $x=0$에서 연속일 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. $$f(x) = \begin{cases} \frac{2e^{3x} - 2}{3x(e^x + 1)}, & x \neq 0, \\ a, & x = 0. \end{cases}$$

다음 중적분의 값을 구하시오. $$\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}} \ln(x^2 + y^2 + 4) dxdy$$

연속함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족할 때, $\int_{0}^{a} \{f(2x) + f(2a-x)\} dx$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수) (가) 모든 실수 $x$에 대해 $f(a-x) = f(a+x)$ (나) $\int_{0}^{a} f(x) dx = 6$

미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 등식을 만족할 때, $f(0)$의 값을 구하시오. $$\int_{\ln 3}^{x} e^t f(t) dt = e^{2x} - ae^x + 3.$$

전이확률행렬(transition probability matrix) $P$가 다음과 같을 때, $\lim_{n \to \infty} P^{(n)}$의 (1, 2) 성분의 값을 구하시오. $$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$$

확률변수 $X_1$과 $X_2$의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때, $X_2$의 기대값을 구하시오. $$f(x_1, x_2) = \begin{cases} 6x_2, & 0 < x_2 < x_1 < 1, \\ 0, & \text{그 외}. \end{cases}$$

어느 공장에서 생산되는 테니스공을 일정한 높이에서 바닥에 떨어뜨렸을 때, 테니스공이 튀어 오른 높이를 정규분포를 이용하여 추정하려고 한다. 이 공장의 테니스공 중 임의로 추출한 400개에 대해 튀어 오른 높이를 측정하였더니 평균이 240, 표준편차가 40이었다. 이 공장에서 생산되는 전체 테니스공의 튀어 오른 높이의 평균의 95% 신뢰구간에 속하는 정수의 개수를 구하시오. (단, $Z$가 표준정규분포를 따를 때 $P(0 \le Z \le 1.96) = 0.475$)

확률변수 $X_1$과 $X_2$가 서로 독립이고, 기대값이 1인 지수분포를 따른다. $E[\max\{X_1, X_2\}]$를 구하시오. (단, $\max\{a, b\}$는 $a$와 $b$의 최대값)

확률변수 $X$의 누적분포함수(c.d.f.)가 다음과 같을 때, $E[X]$을 구하시오. $$F_X(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 0.2x, & 0 \le x < 2, \\ 1, & x \ge 2. \end{cases}$$

확률변수 $X$의 확률밀도함수(p.d.f.)가 아래와 같다. $$f_X(x) = \begin{cases} xe^{-x}, & x > 0, \\ 0, & \text{그 외}. \end{cases}$$ 이때 다음 보기에서 성립하는 것은 모두 몇 개인지 고르시오. (가) $E[X] = 2$ (나) $Var(X) = 2$ (다) $E[(X - E[X])^3] > 0$

확률변수 $X$는 구간 (1, 3)에서 균등분포를 따르고, $Y = \ln X$이다. 이때 $Y$의 확률밀도함수(p.d.f.) $f_Y(y)$를 구하시오.

확률변수 $X$의 확률밀도함수(p.d.f.)가 다음과 같을 때, $Var(X)$을 구하시오. $$f_X(x) = ce^{-|x|}, \quad -\infty < x < \infty, \text{ 단, } c \text{는 상수.}$$

확률변수 $N$은 평균이 2인 포아송분포를 따르고, $Y = \min\{100N, 150\}$이다. 이때 $E[Y]$을 구하시오. (단, $\min\{a, b\}$는 $a$와 $b$의 최슷값, $e^{-2} = 0.1353$)

이력이 $\delta_t = \frac{2t}{10+t^2}$ ($t \ge 0$)으로 주어질 때, $\ddot{s}_{\overline{2|}}$ 값을 구하시오.

현재 시점에 1을 3년 간 투자할 때 첫 1년은 명목이율 $i^{(4)} = k$로 적용되고 나머지 2년은 명목할인율 $d^{(2)} = k$로 적용된다. 3년 후의 종가가 16이 되기 위한 $k$를 구하시오.

1000을 대출하여 앞으로 3년 동안 매년 말에 균등상환하기로 하였다. 연이율(annual effective rate of interest) $i = 0.05$일 때 3년 동안 지급되는 이자의 총합을 구하시오. (단, $a_{\overline{3|}} = 2.723$)

다음 중 옳은 것을 모두 고르시오. (가) $\mathring{e}_{x:\overline{n|}} \le \mathring{e}_x$ (나) $\mathring{e}_{x:\overline{n|}} = \int_0^n t \cdot {}_t p_x \cdot \mu_{x+t} dt$ (다) $\mathring{e}_x = \mathring{e}_{x:\overline{n|}} + {}_n p_x \mathring{e}_{x+n}$

선택기간이 2년인 생명표에 대해 다음이 성립할 때, $e_{[80]}$을 구하시오. (가) $e_{80} = 6$ (나) $q_{80} = 0.1, q_{81} = 0.12$ (다) $q_{[x]} = (0.8)q_x, q_{[x]+1} = (0.9)q_{x+1}$

다음 중 $\frac{d}{dx} {}_t p_x$와 같은 것을 고르시오.

연령 $[x,x+1)$에서 단수부분에 대해 사력이 일정(CFM)하다고 가정하여 ${}_{0.5}q_{x+0.3} = 0.2$를 얻었다. 만약 단수부분에 대해 사망자수 균등분포(UDD)를 가정할 때 ${}_{0.5}p_x$를 구하시오.

$q_x = 0.1, q_{x+1} = 0.2$이고, 단수부분에 대해 사망자수 균등분포(UDD)를 가정한다. 장래생존기간 $T(x)$의 확률밀도함수를 $f(t)$라 할 때, $f(1.5)$를 구하시오.

정기보험의 현가확률변수를 $Z_1$, 생사혼합보험의 현가확률변수를 $Z_2$라 할 때 $E[Z_1 Z_2]$를 구하시오. 단, 만기는 $n$년이고, 사망 연도말 또는 만기에 지급되는 보험금은 1이다.

사망 즉시 보험금 1이 지급되는 종신보험에 1200명이 동시에 가입하였다. (가) 기금 $F$는 보험가입 시 1200명으로부터 받은 일시납보험료의 총합이다. (나) 사력 $\mu = 0.04$, 이력 $\delta = 0.04$ (다) 1200명의 장래생존기간은 서로 독립이다. (라) $P(Z \le 1.645) = 0.95$, 단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다. 이때 정규근사 95%의 신뢰도로 위의 기금이 사망보험금을 지급하기에 충분할 $F$의 최슷값을 구하시오.

나이가 50세인 사람이 보험금 1이 사망 즉시 지급되는 종신보험에 가입하였다. 사망보험금의 현가를 $Z$라 할 때 다음 조건 하에서 $P(Z < \bar{A}_{50})$을 구하시오. (가) $_t p_{50} = 1 - \frac{t}{50}$, $0 \le t \le 50$ (나) 이력 $\delta = 0.02$ (다) $e^{-1} = 0.3679$, $\ln(0.6321) = -0.4587$

다음 조건 하에서 $_{10|\bar{a}_x}$를 구하시오. (가) $A_{x+10} = 0.3$ (나) $_{10}E_x = 0.6$ (다) 이자율 $i = 0.06$, 이력 $\delta = 0.05827$ (라) 단수부분에 대해 사망자수 균등분포(UDD)를 가정함

다음과 같은 가정을 이용하여 $\bar{A}_{x+10}$을 구하시오. (가) 모든 연령 $x \ge 0$에 대하여 $\mu_x = \mu$로 상수이다. (나) $(x)$의 장래생존기간을 $T(x)$라 할 때 $Var(T(x)) = 2500$이다. (다) 이력 $\delta = 0.03$

다음의 조건이 주어져 있을 때 $P_{x: \bar{5}|}$를 구하시오. (가) $P_{x: \bar{5}|}^1 = 0.008$ (나) $P_x = 0.053$ (다) $_5V_x = 0.135$

피보험자 (50), 보험금 1000, 전기납, 완전연속(fully continuous) 종신보험을 고려해 보자. 상품개발 시 순보험료 산출에 상수사력 $\mu_{50+t} = 0.02$를 가정하였지만, 실제 사망률은 한계연령 $\omega = 100$인 De Moivre의 사망법칙을 따르는 것으로 알려졌다. 상품개발 시 책정된 순보험료를 그대로 이용하고 실제 사망률을 적용했을 때 보험가입 시점에서 미래손실 $_0L$의 기대값을 구하시오. (단, 이력 $\delta = 0.02$, $e^{-1} = 0.3679$)

다음 조건 하에서 $\overline{P}(\overline{A}_x)$를 구하시오. (가) 이력 $\delta = 0.05$ (나) ${}_t p_x = \frac{1}{2}e^{-0.05t} + \frac{1}{2}e^{-0.15t}, t \ge 0$

나이가 40세인 사람이 다음의 종신연금에 가입했을 때 제10보험연도 말 순보험료식 책임준비금을 구하시오. (가) 가입 후 20년 동안 매년 초 평준 순보험료를 납입함 (나) 종신연금은 60세부터 매년 초 1을 지급함 (다) $\ddot{a}_{40} = 14.8, \ddot{a}_{50} = 13.3, \ddot{a}_{60} = 11.1,$ ${}_{10}E_{40} = 0.55, {}_{10}E_{50} = 0.50$

나이가 50세인 사람이 사망연도 말에 보험금 1이 지급되는 종신보험에 가입했다. 다음 조건 하에서 제10보험년도 초 순보험료식 책임준비금(initial reserve)을 구하시오. (가) 이자율 $i = 0.05$ (나) 한계연령 $\omega = 100$인 De Moivre의 사망법칙을 따름 (다) 10년 동안 매년 초 보험료가 납입됨 (라) $a_{\overline{50|}} = 18.26, a_{\overline{40|}} = 17.16, \ddot{a}_{50: \overline{10|}} = 7.44$