보험계리사 1차 객관식 보험수학 2019년 기출문제

양수 $x$에 대해 $\log x$의 지표를 $f(x)$라 하자. 등식 $3f(m) - f(3m) = 1$을 만족시키는 100 이하인 자연수 $m$의 개수를 구하시오. (단, $\log$는 상용로그)

수열 $\{a_k\}$가 자연수 $n$에 대해 $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k a_k = n^4$을 만족시킬 때, $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{2n}}{n^3}$의 값을 구하시오.

함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족할 때 $\lim_{x \to 2} \frac{f(f(x))}{3x^2 - 5x - 2}$의 값을 구하시오. (가) $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{f(x)} = 2$ (나) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)} = \frac{1}{7}$

행렬 $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$는 일차변환 $f$를 나타낸다. 일차변환 $g$는 두 점 (1,1)과 (0,1)을 각각 두 점 (1,3)과 (2,1)로 이동시킨다. 합성변환 $g \circ f$에 의해 점 (1,2)가 점 $(a,b)$로 이동될 때, $ab$의 값을 구하시오.

실수에서 정의되는 연속함수 $f(x)$가 모든 실수 $t$에 대하여 $3 \int_{0}^{4t} x f(x) dx = 8t^4$을 만족할 때, $9f(2)$의 값을 구하시오.

함수 $f(x) = x^4$에 대해, $x=1$에서 전개한 테일러 2차 근사다항식은 다음과 같다. $$g(x) = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$$ 이 때 $a+b+c$의 값을 구하시오.

두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 다음과 같이 정의된다. (가) $f(x) = \frac{1}{2x+3}$ (나) $g(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ $0 \le x \le \pi$에서 합성함수 $(f \circ g)(x)$의 최소값을 구하시오

실수 전체의 집합에서 정의된 연속함수 $f(x)$가 모든 양수 $x$에 대하여 다음 식을 만족한다. $$\int_{0}^{x} (x-t)\{f(t)\}^2 dt = 12x^2 + 24x + 5$$ 곡선 $y=f(x)$와 직선 $x=1$, $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 도형을 $x$축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 $a\pi$라 할 때, $a$의 값을 구하시오.

다음 분수방정식의 근을 $\alpha$라 할 때, $2\alpha$의 값을 구하시오. $$\frac{2}{x+1} - \frac{3}{x^2-x+1} = \frac{2x+8}{x^3+1}$$

다음 식을 만족하는 $a$를 구하시오. $$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{a}{3}} \ln\left(1 + \frac{4}{x^2}\right) = 4$$

다음과 같은 주사위 게임을 한 번 한다고 했을 때, 이 게임에서 A가 이길 확률을 구하시오. (가) 1부터 6까지 숫자가 쓰여 있는 공정한 주사위가 있다. (나) A는 주사위를 한 번 던져 나온 숫자를 점수로 얻는다. (다) B는 주사위를 두 번 던져 나온 숫자들 중 큰 수를 점수로 얻는다. (라) 이 게임의 규칙은 두 사람이 서로 다른 점수를 얻으면 더 큰 점수를 얻은 사람이 이기는 것이고, 두 사람이 같은 점수를 얻으면 비기는 것이다.

다음 조건 하에서 $X$와 $Y$의 공분산 $Cov(X, Y)$를 구하시오. (가) 서로 독립인 확률변수 $U, V, Z$가 각각 구간 $[0,2]$에서 정의된 균등분포를 따른다. (나) 두 확률 변수 $X$와 $Y$를 $X=U+Z, Y=V+Z$로 정의한다.

확률변수 $X$가 기답값이 2이고 표준편차가 0.2158인 정규분포를 따른다. 표준정규분포의 누적분포함수를 $\Phi$로 나타낼 때, $P(\Phi(X) \le 0.95)$를 구하시오. (단, $\Phi(1.645) = 0.95$)

다음 조건 하에서 $f(2)$를 구하시오. (단, $\ln 2 = 0.6931$) (가) 확률변수 $X$는 구간 $[0,4]$에서 정의된 균등분포를 따른다. (나) $Y = \exp(X)$로 정의한다. (다) $Y$의 확률밀도함수(probability density function)를 $f$로 나타낸다.

어떤 기계가 다음과 같은 시행을 한다. (가) 동전 1개를 넣으면 구슬 1개를 준다. (나) 이 기계에서 파란 구슬이 나올 확률과 빨간 구슬이 나올 확률은 각각 $\frac{1}{3}$과 $\frac{2}{3}$이다. 파란 구슬이 나올 때까지 이 시행을 독립적으로 반복할 때, 사용될 동전 개수의 평균을 구하시오.

확률변수 $X$의 확률밀도함수(probability density function)가 다음과 같을 때 $E[X]$를 구하시오. $$f(x) = \begin{cases} k\exp(-x), & x \ge 1, \\ 0, & x < 1, \end{cases} \quad \text{단, } k \text{는 상수.}$$

1에서 5까지의 숫자가 하나씩 적혀 있는 카드가 숫자별로 2장씩 총 10장이 있다. 이 중 4장을 무작위로 비복원추출하였을 때 4장의 카드가 모두 다른 숫자일 확률을 구하시오.

확률변수 $N$은 평균이 2인 포아송 분포를 따른다. $a = E[N3^N]$이라고 할 때, $\ln(\frac{a}{6})$의 값을 구하시오.

확률변수 $X_1$과 $X_2$가 독립이고, 기답값이 1인 지수분포를 따른다. $P(X_1 < 2X_2)$를 구하시오

A는 매년 말에 연이율 $i$의 복리로 이자가 적립되는 계좌이며, B는 이력 $\delta$로 연속적으로 이자가 적립되는 계좌이다. A와 B에 각각 1을 입금한 뒤 10년이 지나 두 계좌의 금액이 모두 $e$가 되었다. $\frac{i}{\delta}$를 구하시오. (단, $e^{0.1} = 1.105$)

다음 조건을 만족하는 10년 만기 연속변동연금의 $t=0$ 시점의 가치를 구하시오 (가) $t$시점의 지급률(rate of payment): $$b_t = (1 - 0.1t)e^{0.1t}, \quad 0 \le t \le 10$$ (나) $\delta = 0.1$

이력이 $\delta = 0.1$일 때, $\ddot{a}_{\frac{2}{1}}$ 값을 구하시오. (단, $e^{-0.05} = 0.9512$)

$2y$년 후에 104.305를 마련하기 위해, 복리로 이자가 적립되는 계정에 납입을 한다. 현재부터 $y$년까지는 1을 매년 말에 납입하고, $y$년부터 $2y$년까지는 2를 매년 말에 납입한다. $(1+i)^y = 3$일 때, 연이율 $i$를 구하시오.

A는 매년 초에 30을 지급하는 영구연금(perpetuity)이다. B는 매년 말에 지급하는 영구연금이며, 첫 지급액은 23이고 그 후로 매년 1씩 지급액이 증가한다. A와 B의 현재 가치가 같을 때, 연이율 $i$를 구하시오.

다음 조건을 가지는 채권의 듀레이션(Macaulay duration)을 구하시오. (가) 액면가가 100 (나) 이표율 10%로 매년 말에 이표를 지급 (다) 만기는 2년 (라) $v = 0.8$

모든 나이 $x$에 대하여 사망률 $q_x = 0.3$이다. 나이가 80세인 사람의 3년 정기개산평균여명(3-year temporary curtate expected future lifetime) $e_{80:\bar{3}|}$을 구하시오.

모든 나이 $x$에 대하여 사망률 $q_x = 0.3$이다. 나이가 80세인 사람의 3년 정기개산미래생존기간(3-year temporary curtate future lifetime) $\min(K_{80}, 3)$의 분산을 구하시오.

피보험자 ($x$)에 대하여 사력이 다음과 같다. $$\mu_x = \frac{1}{100-x}, \quad 0 \le x < 100.$$ 피보험자 (60)의 완전미래생존기간(complete future lifetime) 확률변수가 $T_{60}$일 때, $\Pr(T_{60} > t) = \frac{3}{4}$인 $t$값을 구하시오.

피보험자 ($x$)에 대하여 사력이 다음과 같다. $$\mu_x = A + Bx, \quad x \ge 0$$ 이로부터 얻은 생존함수 ${}_t p_0$가 다음 두 조건을 만족할 때, $A$를 구하시오. (가) ${}_2 p_0 = e^{-0.6}$ (나) $\left. \left( -\frac{1}{t p_0} \frac{d}{dt} {}_t p_0 \right) \right|_{t=2} = 0.5$

다음 중 성립하지 않는 것을 고르시오.

피보험자 (80)이 다음과 같은 3년 만기 정기보험에 가입하였다. $P$를 구하시오. (가) 사망연도 말에 사망보험금 1000을 지급 (나) 생존 시 순보험료는 1차연도 초에 $P$, 2차연도 초에 $2P$를 각각 납입 (다) $q_{80} = q_{81} = q_{82} = 0.1$ (라) $v = 0.9$

다음 중 $\frac{1}{d\ddot{a}_{x:\bar{n}|}} - \frac{1}{d\ddot{s}_{x:\bar{n}|}}$과 같은 것을 고르시오.

나이가 50세인 피보험자가 2019년 1월 1일 종신보험에 가입하였다. 이 보험은 피보험자가 사망한 경우, 다가오는 짝수 해의 말에 보험금 1을 지급한다. 예를 들어, 2019년 또는 2020년 사망시 모두 2020년 말에 보험금을 지급한다. 생존모형은 종국연령(ultimate age)이 60세인 de Moivre의 법칙을 따른다. $v = \sqrt{0.9}$ 일 때, 이 보험의 일시납 순보험료를 구하시오.

2017년 초, 피보험자 X가 연금기간이 4년이고 매년 말생존 시 1씩 지급하는 정기연금에 가입하였다. $A/B$를 구하시오. (가) $A$는 X가 2019년 초인 현재까지 이미 수령한 지급액(총 2번)의 종가 (나) $B$는 X가 2019년 초인 현재부터 향후에 지급받을 것으로 예상되는 지급액(총 2번)의 현가 (다) 사력은 $\mu = \ln(10/9)$인 상수사력(CFM) 가정을 따름 (라) $v = 0.9$

다음 조건 하에서 ${}_{0.5}q_x^{CFM} - {}_{0.5}q_x^{UDD}$를 구하시오. (단, $e = 2.72$) (가) $x$는 정수 연령이고 $p_x = e^{-1}$ (나) ${}_tq_x^{CFM}$은 연령 $[x, x+1)$에서 단수 부분에 대해 사력이 일정하다(CFM)고 가정할 때 $(x)$가 $t$년 이내에 사망할 확률 (다) ${}_tq_x^{UDD}$는 연령 $[x, x+1)$에서 단수 부분에 대해 사망자 수의 균등분포(UDD)를 가정할 때 $(x)$가 $t$년 이내에 사망할 확률

피보험자 $(x)$가 사망연도 말 1을 지급하는 종신보험에 가입하였다. 다음 조건 하에서 제2보험연도 말 순보험료식 책임준비금 ${}_2V$를 구하시오. (가) $A_x = 0.5$ (나) $A_{x+2} = 0.6$

피보험자 $(x)$가 사망연도 말 1을 지급하는 3년 만기 정기보험에 가입하였다. 다음 조건 하에서 제2보험연도 말 순보험료식 책임준비금을 구하시오. (가) $q_x = q_{x+1} = q_{x+2} = 0.1$ (나) 일시납 순보험료 $P=0.2468$을 납입 (다) 제1보험연도 말 순보험료식 책임준비금 ${}_1V=0.1769$ (라) $i = 5\%$