보험계리사 1차 객관식 보험수학 2021년 기출문제

이차방정식 $x^2 - \sqrt{a_n}x + \left(\frac{1}{2}a_{n+1} - \frac{1}{4}\right) = 0$이 모든 자연수 $n$에 대하여 중근을 가질 때, $\lim_{n \to \infty} a_n$의 값을 구하시오. (단, $a_1 = 2$)

$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 9ax + 54}{(x-3)^2} = b$를 만족하는 상수 $a, b$에 대하여 $b-a$의 값을 구하시오.

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln \frac{e^x + e^{2x} + e^{3x} + \cdots + e^{nx}}{n} = 20$일 때, 자연수 $n$의 값을 구하시오.

수열 $a_n = \sqrt{4n^2 + 3} - 2n$에 대해 $\lim_{n \to \infty} 4n \cdot a_n$의 값을 구하시오.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left( e^{\frac{k}{n}} + 1 \right)$의 값을 구하시오.

함수 $f(x) = \int_{-2}^{x} \left( \frac{1}{e^t + 1} \right) dt$에 대하여 $f(a) = 2$가 성립할 때, 정적분 $\int_{-2}^{a} \frac{\ln\{f(x)+1\}}{e^x + 1} dx$의 값을 구하시오.

연속함수 $f(x)$가 $f(0) = 0$, $f'(x) = x + |x-1|$을 만족시킬 때, $\int_{0}^{2} f(x) dx$의 값을 구하시오.

수직선상의 한 점에서 출발하여 $v(t) = 15 - 5t$의 속도로 움직이는 물체가 있다. 이 물체가 $t=0$에서 $t=6$까지 실제로 움직인 거리를 구하시오.

COVID-19 진단 검사 시 확진판정이 날 확률이 $p$라고 하자. 임의로 100명을 뽑아서 검사를 실시할 경우 2명이 확진판정을 받을 확률이 $g(p)$라고 할 때, $g(p)$가 최대가 되는 $p$의 값을 구하시오.

어떤 선별진료소에서 COVID-19를 검사하기 위해 PCR 진단 키트를 수급하였다. 진단 키트의 정확도는 COVID-19에 걸린 사람을 걸렸다고 진단할 확률이 98%이고, COVID-19에 걸리지 않은 사람을 걸렸다고 진단할 확률이 4%라고 한다. 만약 해당 선별진료소가 운영되는 지역에서 0.1%의 주민이 COVID-19에 걸려있다면, 이 PCR 진단법에 의해 COVID-19에 걸렸다고 진단받은 사람이 실제 COVID-19에 걸렸을 확률을 구하시오.

어떤 기업이 A, B, C 세 대의 기계를 가지고 제품을 생산하는데, 각각 전체 생산량의 25%, 35%, 40%를 담당한다. 지난해 이 회사가 생산한 제품들을 검수한 결과, 각 기계가 생산한 제품 중 각각 5%, 3%, 2%의 불량품이 나온다고 한다. 무작위로 추출한 제품이 불량품이라면, 이것은 기계 B가 생산한 제품일 확률을 구하시오.

어떤 손해보험회사의 자동차 보험에서 보험금 청구 건수는 매 시간마다 평균 1건의 포아송 분포를 따른다고 한다. 앞으로 4시간 동안 3건 이상의 보험금 청구가 발생할 확률을 구하시오. (단, $e = 2.7183$)

확률변수 $N$은 평균이 $\lambda$인 포아송분포를 따른다. $\lim_{\lambda \to 0} E[N|N \ge 1]$을 구하시오.

확률변수 $N$이 공정한 동전을 앞면이 두 번 연속으로 나올 때까지 던진 횟수라고 할 때, $E[N]$을 구하시오.

평균이 100이고, 분산이 25인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 16인 확률표본을 추출한다. 표본평균 $\bar{X}$의 표본분포에서 제10백분위수(percentile)를 구하시오. (단, $Z$가 표준정규분포를 따를 때, $P(Z \le 1.28) = 0.9$)

확률변수 $X$의 적률생성함수가 $$M_X(t) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8}e^t + \frac{3}{8}e^{2t} + \frac{1}{8}e^{3t}$$ 라고 할 때, $X$의 분산을 구하시오.

확률변수 $U$는 구간 $(1, 2)$에서 정의된 균등분포를 따른다. 다음 중 평균이 1인 지수분포를 따르는 것을 고르시오.

확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수가 $$f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} kxy^2, & 0 < x < y < 1, \text{ (단, } k \text{는 상수)} \\ 0, & \text{그 외} \end{cases}$$ 라고 할 때, $E[X^2|Y=y]$을 구하시오.

$t=0$ 시점에 계좌를 개설한 직후 적립된 1이 이력 $\delta_t = \frac{1}{5} \left( \frac{2t}{1+t^2} \right)$로 부리될 때, 이력이 최대가 되는 시점의 잔액을 구하시오.

어떤 사람이 가입 후 짝수 번째 해의 말에 1을 지급하는 $3n$년 만기 확정연금에 가입하였다. 가입 후 $n$년 동안 수령하는 지급액의 현가 합을 $x$, 가입 후 $2n$년 동안 수령하는 지급액의 현가 합을 $y$라고 할 때, $y = 1.5x$이다. 이 연금의 마지막 지급액의 현가를 구하시오. (단, $n$은 짝수)

어떤 사람이 대출금 100을 3년 동안 매년 말 일정금액 $C$씩 할부상환 방식(amortization method)으로 상환한다. 대출금에 적용되는 연이율(annual effective rate of interest)은 10%이다. $C$를 구하시오.

액면가 100, 5년 만기, 이표율(coupon rate) 10%로 매년 말에 이표(coupon)를 지급하는 할증부 매입 채권 (bond purchased at premium)의 연투자수익률(annual yield rate)이 7%이다. 네 번째 이표 지급액에서 이자에 해당하는 부분을 구하시오.

현재 잔액이 10인 계좌 A에서 10년 동안 매년 말 1이 인출된다. 이 계좌의 매년 초 잔액에 대해 매년 말 연이율 7%로 이자가 지급되며, 이 이자액은 지급되자마자 인출되어 연이율 5%로 이자가 부리되는 계좌 B에 재투자(reinvest)된다. 10년 후 B의 종가를 구하시오.

사망이 드 므아브르 법칙(de Moivre's law)을 따를 때, $\mathring{e}_{40} = 30$이라면 $Var(T(60))$을 구하시오. (단, $T(x)$는 $(x)$의 장래생존기간)

$tq_x$가 $t$에 관해 미분 가능할 때, $\lim_{h \to 0+} \frac{hq_x}{h}$를 구하시오.

확률변수 $X$가 신생아의 수명을 나타낼 때, $X$의 생존함수가 $$s_X(x) = \left(1 - \frac{x}{100}\right)^2, \quad 0 \le x \le 100$$ 이다. $X$의 분포에서 제3사분위수(quartile)를 구하시오.

2021년 COVID-19가 유행 중인 상황에서 피보험자 $(x)$의 사력은 $\mu_x = kx$이고, 나이가 20세인 피보험자 A가 10년 내에 사망할 확률은 0.1이다. 2022년에 유행이 종료한 후 사력이 $\mu_x^* = \frac{5}{6}kx$로 감소한다고 할 때, 2022년에 나이가 20세인 피보험자 B가 20년 내에 사망할 확률을 구하시오. (단, $k$는 상수)

다음 중 옳지 않은 것을 고르시오. (단, $i > 0$)

피보험자 ($x$)가 가입하려고 하는 2년 만기 생존보험이 아래 조건을 만족할 때, 연이율 $i$를 구하시오. (가) 만기에 생존 시 보험금 1을 지급 (나) $Z$는 보험금 현가를 나타내는 확률변수 (다) $E[Z] = 9 \text{Var}(Z)$ (라) ${}_2p_x = \frac{55}{64}$

$A_x \cdot P_{x:\bar{n}|} + (1 - A_x) \cdot P_x$와 같은 것을 고르시오.

피보험자 (20)이 다음과 같은 5년 만기 보험에 가입하였다. 연납평준순보험료를 구하시오. (가) 보험기간 동안 매년 초에 평준순보험료를 납입 (나) 사망 시 사망연도 말에 사망보험금 1과 기납입된 보험료를 이자 없이 지급 (다) 만기에 생존 시 1을 지급 (라) $\ddot{a}_{20:\bar{5}|} = 3.362$ (마) $A_{20:\bar{5}|}^1 = 0.299, A_{20:\frac{1}{5}|} = 0.328$ (바) $(IA)_{20:\bar{5}|}^1 = 0.766$

피보험자 ($x$)가 다음과 같은 10년 만기 정기보험에 가입하였다. 평준순보험료를 구하시오. (가) 사망 즉시 사망보험금 $b_t = 100e^{0.03t}$를 지급 (나) 보험료는 전기 연속납 (다) $\delta = 0.03$ (라) $\mu_x = 0.02$ (마) $e^{-0.2} = 0.8187, e^{-0.5} = 0.6065$

피보험자 ($x$)가 다음과 같은 3년 만기 정기보험에 가입하였다. (가) 사망연도 말에 사망보험금 100을 지급 (나) 매년 초 평준순보험료를 납입 (다) ${}_2L$는 제2보험연도 말 시점에서 보험사의 손실현가 확률변수 (라) $v = 0.95$ (마) $q_x = 0.1, q_{x+1} = 0.15, q_{x+2} = 0.2$ $Var({}_2L)$을 구하시오.

피보험자 ($x$)가 다음과 같은 10년 만기 생사혼합보험에 가입하였다. (가) 제$k$보험연도 말에 사망 시 사망보험금 $(11-k)$를 지급 (단, $k=1, 2, ..., 10$) (나) 만기 생존보험금은 1 (다) 매년 초 평준순보험료를 납입 (라) $q_{x+5} = 0.05$ (마) $v = 0.95$ (바) 제9보험연도 말 순보험료식 책임준비금 $_9V=0.67$ (사) 제5보험연도 말 순보험료식 책임준비금 $_5V=0.14$ 제6보험연도 말 순보험료식 책임준비금 $_6V$를 구하시오.

피보험자 ($x$)가 사망보험금 1000을 지급하는 완전이산 (fully discrete) 종신보험에 가입하였다. 다음 조건을 이용하여 $\ddot{a}_x$를 구하시오. (가) 제1보험연도 말 순보험료식 책임준비금 $_1V=19$ (나) $v = 0.95$ (다) $q_x = 0.01$

30세 동갑인 한 부부가 각각 앞으로 20년 간 생존할 확률이 60%이고, 10년 안에 사망할 확률은 10%이다. 두 사람 중 적어도 한 사람이 40세에서 50세 사이에 사망할 확률을 구하시오. (단, 두 사람의 사망은 독립)