보험계리사 1차 객관식 보험수학 2020년 기출문제

$k$가 실수일 때 2차 방정식 $x^2 + (k-1)x - k^2 = 0$의 두 근 $\alpha, \beta$에 대해 $\alpha^2 + \beta^2$의 최소값을 구하시오.

$x, y$에 대한 연립 방정식 $$\begin{cases} (1-k)x + 2y = 3k \\ 2x + (1-k)y = -3k \end{cases}$$ 가 무수히 많은 근을 가지게 되는 모든 $k$들의 합을 구하시오.

$f(x,y) = (x^2 - y^2, 2xy)$으로 주어진 변환 $f$에 대해, $(x_1, y_1) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$, $(x_{n+1}, y_{n+1}) = f(x_n, y_n)$으로 정의된 점열 $(x_n, y_n)$에서 $x_{2020} + y_{2020}$을 구하시오.

자연수 $n$에 대해 정의된 함수 $$f_n(x) = \begin{cases} \frac{(1+x)^n - a_n - b_n x}{x^2}, & x \neq 0, \\ c_n, & x = 0 \end{cases}$$ 이 연속이 되도록 하는 수열 $a_n, b_n, c_n$에 대해 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2 b_n^2}{c_n}$을 구하시오.

곡선 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ 위의 점 $(\frac{1}{9}, \frac{4}{9})$에서의 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하시오.

모든 실수 $x$에 대해 정의된 함수 $f(x) = (1 + \cos x)(1 + \sin x)$의 최대값을 구하시오.

밑면의 반지름이 $r$이고 높이가 $h$인 원기둥 모양의 통조림 깡통을 만든다고 하자. 일정한 넓이의 철판을 사용하여 부피를 최대로 하려면 높이 $h$가 반지름 $r$의 몇 배이어야 하는지 구하시오.

세 직선 $x=0$, $x=1$, $y=-1$과 함수 $y = \sqrt{x}$의 그래프로 둘러싸인 영역을 직선 $y=-1$ 둘레로 회전시켜 얻어지는 입체의 부피를 구하시오.

극한 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i+1}^{n+i} (i+j)$를 구하시오.

모든 3차 다항식 $f(x)$에 대해 $$\int_{-1}^{1} f(x) dx = a f(b) + c f(d)$$ 가 성립하도록 하는 상수 $a, b, c, d$의 곱을 구하시오. (단, $b < d$)

1부터 6까지 숫자가 쓰여 있는 공정한 주사위가 있다. 이 주사위를 3번 던져 나오는 숫자를 차례로 $a, b, c$라 할 때, $\frac{c}{a+b}$가 자연수일 확률을 구하시오.

서로 독립인 확률변수 $X$와 $Y$는 표준정규분포를 따른다. $T = X^2 + Y^2$의 확률밀도함수(p.d.f.) $f_T(t)$에 대하여 $f_T(1)$의 값을 구하시오. (표준정규분포의 확률밀도함수(p.d.f.) $f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$)

두 확률변수 $X, Y$의 결합확률밀도함수(joint p.d.f.)가 $f_{XY}(x, y) = \begin{cases} \frac{4}{7}\left(x^2 + \frac{xy}{3}\right), & 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 3, \\ 0, & \text{그 외} \end{cases}$ 일 때, $E[Y | X = \frac{1}{2}]$을 구하시오.

확률변수 $T$의 확률밀도함수(p.d.f.)가 모든 실수 $t$에 대해 $$f_T(t) = \frac{e^{-t}}{(1 + e^{-t})^2}$$ 일 때, 사분위수 범위(interquartile range) $Q_3 - Q_1$을 구하시오. (단, $\ln 3 \approx 1.099$)

앞면이 나올 확률이 0.3인 동전이 있다. 앞면이 3회 나오기 이전에 뒷면이 3회 이상 나올 확률을 구하시오.

3과목 중 2과목 이상을 합격하면 자격증이 주어지는 시험이 있다. 응시자 중 절반은 $A$집단에 속하고 나머지는 $B$집단에 속한다. 각 과목의 합격여부는 서로 독립이고, $A$집단 응시자의 과목별 합격률이 0.8이며 $B$집단 응시자의 과목별 합격률이 0.5이다. 시험 후 무작위로 추출한 응시자가 합격자일 때, 이 응시자가 $A$집단에 속할 확률을 구하시오.

확률변수 $X$는 $[0, 10]$에서 균등분포를 따르고 확률변수 $Y$는 $X = x$일 때 $[0, x]$에서 균등분포를 따른다. $Cov(X, X - Y)$를 구하시오.

COVID-19에 감염된 후 회복하기까지 걸리는 시간을 나타내는 확률변수 $T$의 누적분포함수(c.d.f.)가 $F(t) = \begin{cases} 1 - \left(\frac{8}{t}\right)^{1/3}, & t \ge 8, \\ 0, & \text{그 외} \end{cases}$이다. 발생비용이 $U = T^{2/3}$일 때, $U$의 확률밀도함수(p.d.f.) $g(u)$에 대하여 $g(9)$를 구하시오.

앞면이 나올 확률이 0.8인 동전을 한 사람이 두 번 던져서 모두 앞면이 나오면 이기는 게임이 있다. 두 사람 $A$와 $B$가 다음의 규칙에 따라 게임을 진행할 때 $A$가 받을 우승상금의 기대값을 구하시오. (가) $A$와 $B$가 번갈아 게임을 시행해서 먼저 이기는 사람이 우승상금을 갖게 된다. (나) $A$가 먼저 게임을 시작한다. (다) $A$가 첫 번째 시행에서 이기는 경우 우승상금이 1이며, 다음 사람에게 차례가 넘어갈 때마다 우승상금이 직전에 비해 $\sqrt{2}$ 배씩 증가한다.

사고 $A$와 사고 $B$의 한 달간 발생 횟수를 각각 확률변수 $N_A$와 $N_B$로 나타낸다. $N_A$와 $N_B$는 독립이고, 각 확률변수의 확률질량함수(p.m.f.)가 $$\begin{cases} P(N_A = n) = \frac{1}{2^{n+1}}, & n = 0, 1, 2, \cdots, \\ P(N_B = n) = \frac{3}{4^{n+1}}, & n = 0, 1, 2, \cdots \end{cases}$$ 이다. $P(N_A = 2 | N_A + N_B = 3)$을 구하시오.

1년 전에 투자한 27의 현재시점 종가와 1년 후에 지급받을 20의 현가를 더하면 48이다. 연할인율(annual effective rate of discount) $d$를 구하시오. (단, $d > 0$)

다음 조건을 만족하는 10년 만기 연속변동연금의 종가를 구하시오. (가) $t$시점의 지급률(rate of payment) : $$b_t = \begin{cases} 0, & 0 \le t < 5, \\ t^2 - 25, & 5 \le t \le 10. \end{cases}$$ (나) $t$시점의 이력 $\delta_t = \frac{1}{t+5}$

다음 중 단리($a(t) = 1+it$) 하에서 옳지 않은 것을 고르시오. (단, $i > 0$)

첫 지급액이 2이고 그 이후 매년 2씩 지급액이 증가하는 5년 만기 기말급 누가확정연금이 있다. $v = 0.9$일 때, 이 연금의 만기 시점 종가를 구하시오.

다음 중 복리($a(t) = (1+i)^t = e^{\delta t}$) 하에서 옳지 않은 것을 고르시오. (단, $i > 0$)

어떤 사람이 대출금 100을 매년 말 일정금액 $C$ 씩 3년 동안 감채기금 방식(sinking fund method)으로 상환한다. 대출금에 적용되는 연이율(annual effective rate of interest)은 10%이고, 감채기금 적립시 적용되는 연이율은 5%이다. $C$를 구하시오.

어떤 사람이 $n$년 전 다음과 같은 확정연금에 가입하였다. $n$을 구하시오. (가) 매년 1씩 $2n$년 간 기말에 지급 (나) $x$는 현재까지 $n$회 수령한 연금지급액의 현재 시점 종가의 합 (다) $y$는 향후 $n$회 수령할 연금지급액의 현가의 합 (라) $x = 1.4641y$ (마) $i = 21\%$

피보험자 $(x)$가 가입하려고 하는 다음과 같은 10년 만기 보험의 가치를 구하시오. (가) 사망연도 말에 사망보험금 1을 지급 (나) 가입 후 짝수차연도 말에 생존시 생존보험금 1을 지급 (다) 모든 $x$에 대하여 $q_x = 0.1$ (라) $v = 0.9$

아래 조건이 주어질 때, $A_{65}$의 값을 구하시오. (가) $A_{85} - A_{65} = 0.15$ (나) $A_{65 : \overline{20}|} = 0.7$ (다) $A_{65 : \frac{1}{20}|} = 0.5$

아래 조건이 주어질 때, $A_x + A_{x+1}$의 값을 구하시오. (가) $A_{x+1} - A_x = 0.015$ (나) $i = 0.06$ (다) $q_x = 0.05$

아래의 조건이 주어질 때, $A_x$의 값을 구하시오. (가) $A_{x : \overline{n}|} = u$ (나) $A_{x : \overline{n}|}^1 = y$ (다) $A_{x+n} = z$

피보험자 $(x)$에 대한 3종류의 완전이산 보험상품 조건이 다음과 같다. (가) $Z_1$은 보험금이 50인 20년 만기 정기보험(term insurance)의 현가를 나타내는 확률변수 (나) $Z_2$는 보험금이 100인 20년 거치 종신보험 (deferred whole life insurance)의 현가를 나타내는 확률변수 (다) $Z_3$은 보험금이 100인 종신보험(whole life insurance)의 현가를 나타내는 확률변수 (라) $E[Z_1] = 1.65$, $E[Z_2] = 10.75$ (마) $Var(Z_1) = 46.75$, $Var(Z_2) = 50.78$ $Var(Z_3)$의 값을 구하시오.

다음은 신생아에 대한 생존함수이다. $$S_0(x) = \begin{cases} 1 - \left(\frac{x}{250}\right), & 0 \le x < 40, \\ 1 - \left(\frac{x}{100}\right)^2, & 40 \le x \le 100. \end{cases}$$ 피보험자 (30)의 20년 정기완전평균여명(20-year temporary complete expected future lifetime) $\hat{e}_{30 : \overline{20}|}$을 구하시오.

피보험자 (40)에 대하여 사력이 다음과 같다. $$\mu_{40+t} = \begin{cases} 0.01, & 0 \le t < 5, \\ 0.02, & 5 \le t. \end{cases}$$ 이 사람의 $_{20}p_{40}$의 값을 구하시오. (단, $e^{-0.1} = 0.9048$, $e^{-0.05} = 0.9512$)

다음 두 조건을 만족하는 $q_{50}$의 값을 구하시오. (가) $_{0.2}q_{50.6} = 0.1$ (나) 연령 $[x, x+1)$에서 단수부분에 대해 사망자 수가 균등분포(UDD)를 따름

피보험자 ($x$)의 완전이산 2년 만기 정기보험이 다음과 같은 조건을 만족한다. (가) $q_x = 0.01$ (나) $q_{x+1} = 0.02$ (다) $i = 0.05$ (라) 초년도 사망보험금은 100,000 (마) 사망보험금과 보험료는 매년 1%씩 증가 (바) 사망보험금은 기말급 초년도 연납순보험료를 구하시오.