보험계리사 1차 객관식 보험수학 2026년 기출문제

집합 $X = \{1, 2, 3, 4\}$이고 함수 $f$는 $X$에서 $X$로 가는 일대일 대응이다. 함수 $f$가 아래의 조건을 만족할 때, $f(3)$의 값을 구하시오. $$f(1) = 2, \quad f^{-1}(1) = 4, \quad f(f(f(2))) = 2$$

실수 $x$에 대하여 $x$를 넘지 않는 가장 큰 정수를 $[x]$라고 할 때, 다음 식이 성립하는 상수 $a$와 $b$의 합을 구하시오. $$\lim_{x \to 3^-} \frac{(x^2 + ax + b)[x]}{x^2 - 5x + 6} = 4$$

다음 함수가 실수 전체에서 미분가능할 때, $a-b$의 값을 구하시오. (단, $a, b$는 상수) $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + ax + b, & x < 1 \\ \frac{1}{x}, & 1 \leq x \end{cases}$$

임의의 자연수 $n$에 대해 정의된 함수 $$f_n(x) = -\frac{2}{n}x^3 + 3x^2 + n^2 - n \text{의 극소값을 } a_n, \text{ 극대값을 } b_n$$ 이라 할 때, $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n}$을 구하시오

두 미분가능한 함수 $f$와 $g$가 $\lim_{h \to 0} \frac{f(3h) - f(0)}{h} = 6$, $\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{g(x)} = 2$를 만족할 때, 함수 $h(x) = f(g(x))$의 $x=2$에서 미분계수를 구하시오.

정적분 $\int_{2}^{3} \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} dx$의 값을 구하시오.

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \{\ln(n+k)^{1/n} - \ln n^{1/n}\}$의 값을 구하시오.

두 함수 $f(x) = e^x$와 $g(x) = (e-1)x+1$의 그래프로 둘러 싸인 영역의 넓이를 구하시오.

실수 전체에서 정의된 함수 $f$가 모든 실수 $x$에 대해 $\int_{0}^{x} tf(x-t)dt = \frac{1}{2}e^{2x} - x - \frac{1}{2}$을 만족할 때, $f(1)$을 구하시오.

다음 무한급수가 수렴하는 $x$의 범위를 구하시오. $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n (n+1)} (x-2)^n$$

주머니에 흰 공 2개와 검은 공 1개가 들어 있다. 주머니에서 공을 하나 꺼내고 그 공과 같은 색의 공을 하나 더 추가하여 다시 집어 넣는 시행을 반복한다고 하자. 두 번째 꺼낸 공이 흰 공일 때, 첫 번째 꺼낸 공도 흰 공이었을 확률을 구하시오.

1부터 6까지의 눈이 있는 공정한 주사위 두 개를 던져서 두 눈의 합을 구하는 시행을 반복할 때, 두 눈의 합이 홀수인 경우보다 두 눈의 합이 4의 배수인 경우가 먼저 나올 확률을 구하시오.

확률변수 $X$가 포아송분포를 따르고 아래의 조건을 만족할 때, $Var(X)$가 가질 수 있는 최대값과 최소값의 차를 구하시오. $$\Pr(X=2) \le \Pr(X=3), \quad \Pr(X=4) \ge \frac{6}{5}\Pr(X=6)$$

확률변수 $X$가 표준정규분포를 따를 때, $E(e^{2X+1})$을 구하시오.

확률변수 $X_1, X_2, X_3$는 서로 독립이며, 동질적인 확률밀도함수 $f(x) = 4x^3$, $0 \le x \le 1$를 갖는다. $Y = \max\{X_1, X_2, X_3\}$을 할 때, $\Pr\left(Y > \frac{2}{3}\right)$을 구하시오

확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수가 아래와 같을 때, $\Pr(X+Y \ge 1)$을 구하시오. $$f(x,y) = x + y, \quad 0 \le x \le 1, \quad 0 \le y \le 1$$

두 이산확률변수 $X$와 $Y$의 주변확률질량함수 $p_X(x)$와 $p_Y(y)$는 각각 아래와 같다. $X$와 $Y$의 공분산이 $-\frac{1}{10}$일 때, 결합확률질량함수 $p_{X,Y}(1,2)$의 값을 구하시오. $$p_X(0) = \frac{1}{2}, \quad p_X(1) = \frac{1}{2}, \quad p_Y(1) = \frac{2}{5}, \quad p_Y(2) = \frac{3}{5}$$

확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수가 아래와 같을 때, $E(XY)$의 값을 구하시오. (단, $n$이 양의 정수일 때 $\Gamma(n) = \int_0^\infty t^{n-1}e^{-t}dt = (n-1)!$ 임) $$f(x,y) = \frac{2}{y}e^{-2y}, \quad 0 < x < y < \infty$$

확률변수 $X$는 평균이 1인 지수분포를 따르고 확률변수 $Y$는 구간 $(0, \frac{1}{2})$에서 균등분포를 따른다. $X$와 $Y$가 독립일 때, 확률변수 $Z = \frac{X}{Y}$에 대해 $\Pr(Z \ge 2)$을 구하시오

확률변수 $X$의 적률생성함수는 $M_X(t) = \left(\frac{1+e^t}{2}\right)^3$이고, 확률변수 $Y$는 구간 $(0,2)$에서 균등분포를 따른다. $X$와 $Y$가 독립일 때, 확률변수 $Z=X+Y$의 누적 분포함수 $F_Z(z)$에 대해 $F_Z(\frac{2}{3})$를 구하시오.

0시점에서 다음과 같은 현금흐름의 가치를 $(\ddot{I}a)_{\infty|} - 2v^3(\ddot{I}a)_{\infty|} + v^6(\ddot{I}a)_{\infty|}$로 나타낼 수 있다. $\sum_{i=0}^{\infty} C_i$를 구하시오.

아래의 식 중 $(Ia)_{n|} + v^n (Da)_{n-1|}$과 같은 것을 고르시오.

연이율이 10%일 때, 다음과 같은 현금흐름의 듀레이션 (Macaulay duration)을 구하시오.

대출금이 연이율 4%로 매년 말 1000씩 균등분할상환된다. 네 번째 할부금 중 이자상환액이 $I_4 = 350$일 때, 5년 후 시점의 잔존원금 $OP_5$를 구하시오.

아래의 조건을 이용하여 70세의 철수가 1년 안에 사망할 확률을 구하시오. (가) 영수의 사력은 $\mu_x, q_{70} = 0.01$ (나) 철수의 사력은 $\mu_x', \mu_x' = 0.5\mu_x + 0.01$ (다) $e^{-0.01} = 0.99$

아래의 조건을 이용하여 $Var(X)$를 구하시오. (가) $K(x)$는 $x$세인 사람의 장래개산생존기간(curtate future lifetime)을 나타내는 확률변수임 (나) $q_x = 0.1, q_{x+1} = 0.2, q_{x+3} = 0.3$ (다) $X = \min(K, 2)$

사력이 $\mu_t = \frac{2}{100-t}$, $0 \le t < 100$ 일 때, $\hat{e}_{40:30}$을 구하시오.

아래의 조건을 이용하여 60세의 사람이 60.2세에서 60.9세 사이에 사망할 확률을 구하시오. (가) UDD($t, q_x = t \cdot q_x$, $x$는 정수, $0 \le t \le 1$)를 가정함 (나) $l_{60} = 2000, d_{60} = 80$

아래의 조건을 이용하여 $\overline{A}_{80:\overline{2}|}$를 구하시오. (가) $q_{80} = 0.0074, \quad q_{81} = 0.0083$ (나) UDD($_t q_x = t \cdot q_x$, $x$는 정수, $0 \le t \le 1$)를 가정함 (다) $i = 0.03$ (라) $\ln 1.03 = 0.0296$

확률변수 $Z$의 90분위수를 $z_{0.9}$라 할 때, 아래의 조건을 이용하여 $\ln z_{0.9}$를 구하시오. (가) $Z$는 $(x)$가 가입한 보험금 1인 즉시급 종신보험의 현재가치를 나타내는 확률변수임 (나) $\mu_{x+t} = 0.01t, \quad t \ge 0$ (다) $\delta = 0.04$ (라) $\ln 0.9 = -0.1056$

아래의 조건을 이용하여 $Var(Z_2)$를 구하시오. (가) $Z_1$은 (70)이 가입한 보험금 1인 10년 만기 기말급 정기보험의 현재가치를 나타내는 확률변수임 (나) $Z_2$는 (71)이 가입한 보험금 1인 9년 만기 기말급 정기보험의 현재가치를 나타내는 확률변수임 (다) $q_{70} = 0.1, \quad i = 0.03$ (라) $E(Z_1) = 0.6, \quad Var(Z_1) = 0.2$

$\ddot{a}_{x:\overline{3}|} = 2.5, \quad a_{x+1:\overline{1}|} = 0.75, \quad i = 0.1$일 때, $_1|A_{x:\overline{1}|}^1$을 구하시오.

사망은 드므와브르(De Moivre) 법칙을 따른다고 가정하자. $i = 0.05$이고 $_{6|5}q_{45} = \frac{1}{10}$일 때, $a_{30:\overline{2}|}$를 구하시오.

아래의 조건을 이용하여 $_{10}E_{45}$을 구하시오. (가) $a_{45:\overline{10}|} = 6.5$ (나) $A_{45:\overline{10}|}^1 = 0.08$ (다) $d = 0.04$

아래의 조건을 이용하여 $\ddot{s}_{50:10|}$을 구하시오. (가) $A_{50} = 0.5$ (나) $A_{60} = 0.6$ (다) ${}_{10}E_{50} = 0.6249$ (라) $d = 0.04$

아래의 조건을 이용하여 $Cov(Z, Y)$를 구하시오. (가) $A_x = 0.4$ (나) ${}^2A_x = 0.25$ (다) $d = 0.03$ (라) $Z$는 $(x)$가 가입한 보험금 1인 기말급 종신보험의 현재가치를 나타내는 확률변수임 (마) $Y$는 $(x)$가 가입한 연금액 1인 기시급 종신연금의 현재가치를 나타내는 확률변수임

피보험자 $(x)$는 아래와 같은 3년 만기 전기납 생사혼합 보험에 가입하였다. 연납평준순보험료 $P$를 구하시오. (가) 보험료는 기시연납 (나) 사망보험금은 기말급 100 (다) 만기 생존보험금은 $100+3P$ (라) $q_x = 0.1, q_{x+1} = 0.2, q_{x+2} = 0.3$ (마) $v = 0.9$

피보험자 $(x)$가 보험금 1인 완전이산종신보험(fully discrete whole life insurance)에 가입하였다. 아래의 조건을 이용하여 $\frac{E({}_0L^*)}{Var({}_0L^*)}$을 구하시오. (가) $A_x = 0.5$ (나) ${}^2A_x = 0.3$ (다) $d = 0.04$ (라) ${}_0L^*$은 연납보험료 $P=0.05$를 적용한 보험사 순미래손실의 현재가치를 나타내는 확률변수임