보험계리사 2차 주관식 계리모형론 2025년 기출문제

확률변수 $X$의 확률밀도함수가 다음과 같을 때, $$f(x) = 2x^{-3}, \quad x \geq 1$$ $X$의 중앙값(median)을 구하시오. (10점)

확률변수 $X$의 확률밀도함수가 다음과 같을 때, $$f(x) = 4x(1 + x^2)^{-3}, \quad x > 0$$ $X$의 최빈값(mode)을 구하시오. (10점) (제48회) 계리모형론 (6-1)

한국보험회사가 5명의 환자에 대해 아래와 같은 입원기간 정보를 수집하였다. i) 5명의 환자 중 3명은 각각 3일, 6일, 7일 동안 입원 후 퇴원 ii) 나머지 2명의 경우 입원기간이 각각 9일 경과하였으나 퇴원하지 않은 상태에서 관찰 종료 환자의 입원기간이 균등분포 $U(0, \theta)$, $\theta > 0$를 따른다고 가정하여 $\theta$의 최대가능도 추정치(maximum likelihood estimate)를 구하시오. (10점)

한국보험회사에 청구되는 연간 사고보험금의 총합계 $S$는 다음과 같은 복합모형(compound model)을 따른다고 가정한다. (10점) i) $S = X_1 + \cdots + X_N$ (단, $N=0$일 경우 $S=0$) 여기서 확률변수 $N$은 연간 사고건수 확률변수이고, $X_1, \cdots, X_N$은 사고보험금 확률변수이다. ii) $N$은 평균이 2인 포아송분포를 따른다. iii) $N$은 $X_1, \cdots, X_N$들과 서로 독립이다. iv) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $N=n$일 때 사고보험금 $X_1, \cdots, X_n$은 동일하게 평균이 $\Theta$인 지수분포를 따른다. 이 때 $\Theta$는 $\Pr(\Theta=1) = 0.6$과 $\Pr(\Theta=2) = 0.4$인 분포를 따른다. v) $N$과 $\Theta$는 독립이다. vi) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $N=n$이고 $\theta=1, 2$에 대하여 $\Theta=\theta$일 때 $X_1, \cdots, X_n$은 서로 독립이고 동일한 분포를 따른다. (1) $Var(S)$를 구하시오. (5점) (2) $Cov(S, \Theta)$를 구하시오. (5점) (제48회) 계리모형론 (6-2)

한국보험회사는 피보험자마다 위험도가 상이하다고 판단하여 피보험자의 연간 사고건수 $N$이 다음과 같은 혼합 확률분포를 따른다고 가정한다. (10점) i) 피보험자의 사고 발생률을 나타내는 확률변수 $P$는 베타분포(beta distribution)를 따르고 확률밀도함수가 다음과 같다. $$f(p) = 12p(1-p)^2, \quad 0 < p < 1$$ ii) $P = p$일 때, $N$은 이항분포(binomial distribution) $B(10, p)$를 따른다. (1) $N$의 분산을 구하시오. (5점) (단, $\int_{0}^{1} p(1-p)^2 dp = \frac{1}{12}$, $\int_{0}^{1} p^2(1-p)^2 dp = \frac{1}{30}$, $\int_{0}^{1} p^3(1-p)^2 dp = \frac{1}{60}$.) (2) 선택된 임의의 피보험자가 올해 정확히 8건의 사고가 발생하였을 때 Bühlmann 신뢰도 기법을 이용하여 동일 피보험자의 다음 해의 사고건수를 구하시오. (5점)

손해액 확률변수 $X$가 다음과 같은 누적분포함수를 따른다. $$F(x) = \frac{x^{\alpha}}{x^{\alpha} + \beta}, \quad x > 0, \alpha > 0, \beta > 0$$ 손해액의 임의표본이 다음과 같이 주어져 있다. 1, 2, 3, 4 표본의 20%와 80%의 평활경험백분위수(smoothed empirical percentile estimate)를 이용하여 백분위수 일치기법(percentile matching method)으로 모수 $\alpha$와 $\beta$의 추정값을 구하시오. (10점)

한국보험회사는 손해 확률변수 $X$에 대하여 프랜차이즈공제액을 1로 설정하였다. 프랜차이즈공제액 이하의 손해액은 관찰되지 않는다. 프랜차이즈공제 적용 후 지급액이 다음과 같다. 2, 5, 5, 7 귀무가설: 손해 확률변수 $X$가 다음과 같은 누적분포함수를 따른다. $$F(x) = 1 - \left( \frac{3}{x+3} \right)^2, \quad x > 0$$ 위의 귀무가설에 대한 Kolmogorov-Smirnov 적합도 검정통계량을 구하시오. (10점)