보험계리사 2차 주관식 재무관리 및 금융공학 2021년 기출문제

다음 표와 같이 3개($s_1, s_2, s_3$)의 상태만 존재하는 완전시장(complete market)이 있다고 하자.

$\pi(s)$는 특정한 상태($s$)에서만 $1를 지급하는 Arrow-Debreu 증권의 가격이며, $A(s)$는 상태 $s$가 발생할 때 증권A가 지급하는 금액(payoff)이다. 증권A의 균형가격이 $4일 때, 다음 질문에 답하시오. (단, 계산 값은 반올림하여 소수 둘째자리까지 표시하시오.) (15점)

(1) $\pi(s_3)$를 구하시오. (5점)

(2) 증권A를 기초자산으로 하고, 행사가격이 $2인 콜옵션의 균형가격을 (1)을 이용하여 구하시오. (5점)

(3) 어떤 상태에서도 액면가 $100를 지급하는 무위험할인채권의 균형가격을 구하시오. (5점)

포트폴리오(P)의 시장위험을 측정하는 VaR(value at risk)은 자산수익률이 정규분포를 따른다고 가정하는 경우 다음 식에 의해 계산된다.

$$\text{VaR} = \alpha \sigma_P W$$

여기서 $\alpha$는 신뢰수준에 따른 임계값, $\sigma_P$는 P의 수익률의 표준편차, $W$는 P의 시장가치이다. P는 주식A와 주식B에 각각 600만원과 400만원을 투자한다. VaR 계산 시 95% 신뢰수준을 활용하고 이때 임계값($\alpha$)은 1.65이다.

다음 식에 의해 포트폴리오의 표준편차 계산에 필요한 주식수익률의 분산-공분산 행렬을 추정한다.

$$R_i = \alpha_i + \beta_i R_M + \epsilon_i \quad (i = A, B)$$

$$\Sigma = \beta \beta^T \sigma_M^2 + D_\epsilon \quad (\beta = (\beta_A, \beta_B)^T)$$

여기서 $R_i$는 주식$i$의 수익률, $\beta_i$는 주식$i$의 공통요인에 대한 선형 계수,

$R_M$은 공통요인의 수익률, $\epsilon_i$는 잔차, $\Sigma$는 주식수익률들의 분산-공분산 행렬, $\sigma_M^2$은 공통요인 수익률의 분산, $D_\epsilon$는 각 주식수익률의 잔차분산 ($\sigma_{\epsilon_i}^2$)이 대각항에 입력되고 나머지 값은 0인 대각행렬(diagonal matrix)이다. 위 모형을 추정한 결과는 다음과 같다. $\sigma_M^2$은 0.05이다.

다음 질문에 답하시오. (15점)

(1) 주식A와 주식B 수익률의 상관계수를 구하시오. (단, 계산 값은 반올림하여 소수 둘째자리까지 표시하시오.) (3점)

(2) P의 VaR 값을 구하시오. (단, 계산 값은 반올림하여 만원 단위로 표시하시오.) (8점)

(3) 잔차를 고려하지 않고 $\beta$만 고려한 모형을 이용한 P의 VaR 값을 구하시오. (단, 계산 값은 반올림하여 만원 단위로 표시하시오.) (4점)

Black-Scholes 편미분방정식(partial differential equation)은 다음과 같다.

$$\frac{\partial f}{\partial t} + rS \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = rf$$

여기서 $f$는 옵션가치, $S$는 주가, $r$은 연간 무위험이자율, $\sigma$는 주식수익률의 연간 변동성이다. 명시적 유한차분법(explicit finite difference method)으로 편미분방정식을 근사(approximation)하고자 한다. 이를 위하여 주가($S$)와 시간($t$)으로 만들어진 평면을 다음과 같은 격자(grid)로 나눈다. ($0 \le i \le m$, $0 \le j \le n$)

시간 : $0, \Delta t, 2\Delta t, \cdots, i\Delta t, \cdots, T$ ($m\Delta t \equiv T$)

주가 : $0, \Delta S, 2\Delta S, \cdots, j\Delta S, \cdots, S_{\max}$ ($n\Delta S \equiv S_{\max}$)

$f$가 콜 옵션인 경우 시간과 관계없이 격자의 하한 $f_{i,0}$은 0, 상한 $f_{i,n}$은 $S-K$($K$: 행사가격)로 가정한다. 명시적 유한차분법은 주가와 시간에 대한 1, 2차 도함수를 다음과 같이 근사한다.

$$\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{f_{i+1,j} - f_{i,j}}{\Delta t}$$

$$\frac{\partial f}{\partial S} = \frac{f_{i+1,j+1} - f_{i+1,j-1}}{2\Delta S}$$

$$\frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = \frac{f_{i+1,j+1} + f_{i+1,j-1} - 2f_{i+1,j}}{(\Delta S)^2}$$

다음 질문에 답하시오. (단, 계산 값은 반올림하여 소수 둘째자리까지 표시하시오.) (20점)

(1) Black-Scholes 편미분방정식을 명시적 유한차분법에 의하여 다음 식과 같이 표현할 수 있다. $b_j$와 $c_j$를 $A$, $B$, $\Delta t$ 만으로 완성하시오. (6점)

$$a_j f_{i+1,j-1} + b_j f_{i+1,j} + c_j f_{i+1,j+1} = f_{i,j}$$

$$a_j = \frac{\Delta t}{1+r\Delta t}(B-A), b_j = \frac{\Delta t}{1+r\Delta t}( \quad ), c_j = \frac{\Delta t}{1+r\Delta t}( \quad )$$

$$A = \frac{rj}{2}, \quad B = \frac{\sigma^2 j^2}{2}$$

(2) $\sigma = 40\%$, $r = 10\%$ 이다. 행사가격($K$)이 20,000원, 잔존만기가 6개월인 유럽형 콜 옵션의 가치를 (1)을 이용하여 다음 표와 같이 계산하고자 한다. (가), (나), (다), (라) 값을 각각 구하시오. (10점)

(3) 현재 주가($S$)가 20,000원일 때, (2)를 이용하여 미국형 콜옵션의 현재가치를 구하시오. (4점)

연속복리(continuous compounding) 기준으로 한국과 미국의 연간 무위험이자율을 각각 $r_W, r_S$라고 하자. (KRW: Korean won, USD: US dollar)

위 표를 이용하여 다음 질문에 답하시오. (15점)

(1) 투자자J는 미국의 무위험이자율이 한국의 무위험이자율보다 높은 것을 보고(즉, $r_S > r_W$) 원화로 자금을 조달하여 달러 자산에 투자하는 캐리트레이드(carry trade)를 시도하려 한다. $T$에서 J의 캐리트레이드의 1원당 순이익(net profit per KRW at $T$)을 원화로 구하시오. (5점)

(2) J는 (1)과 이론적으로 동일한 캐리트레이드를 초기 투자(initial investment) 없이 효율적으로 수행하기 위하여 외환 선도계약(forward contract)을 이용하려 한다. $T$에서 J의 캐리트레이드 1달러 당 순이익을 원화(net KRW profit per USD unit at $T$)로 구하시오. (단, 원화 기준 USD 선도가격은 $F$라고 표시한다.) (5점)

(3) 이자율평형(interest rate parity)이 성립할 때 (2)의 답을 (1)의 답으로 변환할 수 있음을 보이시오. (헌트: 이자율평형이란 이론 선도가격이 실제거래되는 선도가격과 같은 상태를 의미한다.) (5점)