보험계리사 2차 주관식 재무관리 및 금융공학 2020년 기출문제

Value at Risk($VaR$)는 주어진 신뢰수준 하에 정상상황에서 발생할 수 있는 최대손실로 정의된다. 99% 신뢰수준 하에서의 $VaR$의 개념을 그래프로 표시하면 아래와 같다. $W = W_0(1 + R)$ $W^* = W_0(1 + R^*)$ $W_0$: 초기 포트폴리오의 가치 $R$: 포트폴리오의 수익률 다음 질문에 답하시오. (20점) (1) 포트폴리오의 수익률($R$)이 정규분포를 따르고 주어진 신뢰수준($c$) 하에서의 표준정규분포 값은 $z_c$이고 포트폴리오 수익률의 표준편차는 $\sigma_P$ 라고 할 때, 포트폴리오의 $VaR$ 값이 $z_c\sigma_P W_0$ 임을 증명하시오. (5점) (2) 주식 A와 주식 B에 각각 300만원과 200만원을 투자한 포트폴리오 P가 있다. 두 주식 수익률의 표준편차는 각각 연 5%와 10%이고 수익률 간의 상관계수는 0이라고 하자. 99% 신뢰수준 하에서의 목표기간 1년의 포트폴리오 P의 $VaR$ 값을 구하시오. (단, 99% 신뢰수준 하에서 표준정규분포의 단측 $z_{99\%}$ 값은 2.33이다.) (5점) (3) (2)의 정보와 주식 B의 투자금액이 200만원으로 일정하다는 가정을 활용하여 주식 A의 투자금액이 한 단위 증가할 때, 포트폴리오 P의 $VaR$ 값의 변화($\frac{\partial VaR_P}{\partial W_A}$)로 정의되는 $m VaR$ (marginal $VaR$) 값을 구하시오. (단, 계산 값은 반올림하여 소수 둘째자리까지 표시하시오.) (5점) (4) (3)과 독립적으로 주식 A와 주식 B의 투자금액의 합이 500만원이라는 제약 하에서 포트폴리오의 $VaR$ 값을 최소화 하고자 한다. 주식 A의 투자 금액을 구하시오.

‘ETF-A’(상장지수편드-A)와 MMF(money market fund)에 대한 정보가 다음과 같다. $X_t$: $t$ 시점에서 ETF-A의 가치. $W_t$: 표준 브라운 운동(standard Brownian motion). $B_t$: $t$ 시점에서 MMF의 가치. $M_t$: $t$ 시점에서 ETF-A 보유 수. $N_t$: $t$ 시점에서 MMF 보유 수. $$dX_t/X_t = \mu dt + \sigma dW_t.$$ $$B_t = e^{rt}.$$ ETF-A와 MMF를 이용하여 ETF-A의 $k$-배수 레버리지 ETF($k$-times leveraged ETF)인 ‘KOLEV’를 제작한다. KOLEV를 만들기 위하여 다음과 같이 $M_t$와 $N_t$를 결정하고자 한다. $$V_t = M_t X_t - N_t B_t.$$ $$M_t X_t = k V_t.$$ $$N_t B_t = (k - 1) V_t.$$ 여기서, $V_t$는 $t$ 시점에서 KOLEV의 가치이다. 다음 질문에 답하시오. (15점) (1) KOLEV의 $[t, t+dt]$ 구간에서 움직임이 다음과 같을 때, $\beta$ 를 구하시오. (6점) $$dV_t/V_t = k \cdot dX_t/X_t + \beta \cdot rdt.$$ (2) KOLEV 수익률의 변화인 $d\log V_t$는 ETF-A의 수익률 변화인 $d\log X_t$를 이용하여 다음과 같이 표시할 수 있다. 이때 $\gamma_1 + \gamma_2$ 를 구하시오. (헌트: 이토램마를 활용하시오) (9점) $$d\log V_t = k \cdot d\log X_t - \frac{1}{2}[\gamma_1\sigma^2 + \gamma_2r]dt.$$

블랙솔즈(Black-Scholes) 모형이 실제 옵션시장을 적절하게 설명하지 못한다는 증거로 변동성 미소(volatility smile) 현상이 언급된다. 변동성 미소 현상은 행사가격이 다른 동일한 잔존만기의 옵션들로부터 추정한 내재변동성(implied volatility)이 상이한 현상이다. 이는 옵션 가격으로부터 도출되는 기초자산의 내재위험중립분포(implied risk neutral distribution)의 모양이 블랙솔즈 모형에서 가정한 대수정규분포 (log-normal distribution)와 다른 것으로 해석할 수 있다. 다음 질문에 답하시오. (15점) (1) 행사가격에 따른 내재변동성 값을 그래프로 표시한 변동성 미소의 모양은 아래와 같다. 관찰된 변동성 미소 현상에 기초하여 옵션 가격들로부터 추정된 내재 위험중립분포(실선)와 블랙솔즈 모형에서 가정한 대수정규분포(점선)를 동일 평면에서 그래프로 표시하시오. (단, x-y축 그래프에서 x축은 주가, y축은 확률밀도로 한다.) (3점) (2) 유럽형 콜옵션의 현재 가치는 아래와 같다. $$c = e^{-rT} \int_{S_T=K}^{\infty} (S_T - K)g(S_T)dS_T$$ 여기서, $c$는 유럽형 콜옵션 가격, $r$은 무위험수익률, $S_T$는 만기 $T$시점 (현재시점은 0)의 주가, $K$는 옵션의 행사가격, $g(\cdot)$는 주가의 확률 밀도함수이다. $g(K) = e^{rT} \frac{\partial^2 c}{\partial K^2}$ 임을 증명하시오. (6점) (3) 잔존만기가 $T$ 로 동일하고 행사가격이 각각 $K-dk$, $K$, $K+dk$ 인 콜옵션의 가격이 $c_1, c_2, c_3$이다. (6점) 1) 해당 콜옵션들을 이용한 나비형 스프레드(butterfly spread) 전략의 현재가치를 구하시오. 2) 나비형 스프레드 전략의 수익(payoff)의 기대값을 $g(K)$가 포함된 식으로 표현하시오. 3) 1)과 2)를 이용하여 $g(K)$를 구하시오.