보험계리사 2차 주관식 재무관리 및 금융공학 2023년 기출문제

변동 룩백 풋 옵션(floating lookback put option)은 옵션 계약의 시작 시점부터 권리행사시점까지의 기초자산가격(주가)의 최대값에서 권리행사 시점의 주가를 차감한 금액과 0 중 큰 값을 수익(payoff)으로 지급한다. 이항 모형(binomial model)을 이용하여 미국형 변동 룩백 풋 옵션의 현재 가치를 구하고자 한다. 1기간은 1년으로 하고 이항모형의 모수 (parameter)들은 Cox, Ross and Rubinstein (1979)의 가정에 따라 각 기간에서 주가의 상승배수($u$)와 하락배수($d$)의 곱은 1이 되도록 가정한다. 옵션의 잔존만기는 3년, 무위험이자율은 연 0%, 옵션 계약이 시작되는 현재시점($t=0$)의 주가는 100원, 주식 수익률의 변동성은 연 20%이다. 다음 질문에 답하시오. (단, $e^{0.2} \approx 1.22$이며, 계산값은 반올림하여 소수 둘째자리까지 표시하시오) (15점) (1) 주가의 상승배수($u$)와 위험중립 상승확률($p$)를 각각 구하시오. (3점) (2) 미국형 변동 룩백 풋 옵션의 현재시점($t=0$)의 가치를 구하시오. (8점) (3) 현재시점($t=0$)의 1기간 동안의 델타(delta) 값을 구하시오. (4점)

ETL (expected tail loss)은 일관성 있는 리스크 측정치(coherent risk measure)를 산출하므로 최근 널리 사용되고 있다. 리스크측정 변수가 $W$이고 $q$는 상수라 할 때, ETL은 다음과 같이 조건부 기대값 (conditional expectation)으로 정의된다: $$ETL = E(W | W < q).$$ 다음 질문에 답하시오. (15점) (1) 어느 기업의 순이익($W$)이 평균은 $\mu$, 표준편차는 $\sigma$인 정규분포를 따르며, 정규분포의 확률밀도함수($p.d.f.$)와 누적확률분포함수($c.d.f.$)가 각각 $f(w)$와 $F(w)$라 할 때, 이 기업 순이익이 $q$보다 작다는 조건 하에서 순이익의 ETL을 구하시오. (10점) (2) 어느 기업의 순이익($W$: 단위는 천억원)이 평균과 표준편차가 각각 0과 1인 표준정규분포를 따른다고 한다. 이 기업의 순이익이 음수라는 조건 하에서 순이익의 ETL을 구하시오. (단, $\sqrt{2} \approx 1.41$, $\sqrt{\pi} \approx 1.77$이며, 계산 값은 반올림하여 소수 둘째자리까지 표시하시오) (5점)

기업은 때로 유동자산이 부족하여 만기에 채무변제를 제대로 하지 못하는 지급불능사태에 직면한다. 평균적으로 발생하는 단위시간당($dt$) 지급불능 발생건수($N$)가 다음과 같이 포아송(Poisson) 분포를 따르며, 발생건수와 관련된 모수 $\lambda$는 기업의 노력에 의해 결정된다고 가정하자: $$\Pr(N=n) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}, \quad n = 0,1,2,3,4,?$$ 지급불능사태가 발생할 때 건당 손실금액($X$)은 다음과 같이 기하 브라운 운동(GBM: geometric Brownian motion)을 따른다: $$dX = \mu X dt + \sigma X dW.$$ (단, $dW$는 위너과정(Wiener process)을 의미한다) 기업이 단위시간 당 지급불능사고 평균발생건수를 $\lambda$로 유지하기 위해서는 위험 hect지를 위한 파생상품 구입 등 추가적인 노력을 해야 하며, 이로 인해 추가적으로 자본시장에서 지출해야 하는 비용을 $C(\lambda)$라 할 때, 다음 질문에 답하시오. (20점) (1) 기업이 위험중립적(risk neutral)일 때, 이 기업의 생존기한($T$) 동안 지급불능사태로 발생하는 총비용의 기대현재가치($V_0$)를 연속복리와 적분을 이용하여 수식으로 표시하시오. (단, 현재시점은 $t=0$, 무위험이자율은 $r$로 표시한다) (5점) (2) (1)에서 정의한 총비용함수 $V$가 균형 하에서 만족해야 하는 편미분방정식(PDE)을 도출하시오. (단, PDE의 경계조건(boundary condition)은 생략한다) (10점) (한트: total return = dividend yield + capital gains yield) (3) (1)에서 구한 총비용을 최소화하기 위해 기업이 선택해야 하는 최적 자금관리전략을 $\lambda$와 $X$가 포함된 식으로 표현하시오. (단, $C(\lambda)$의 함수형태(functional form)는 외생적으로 결정된다) (5점)