보험계리사 2차 주관식 계리모형론 2023년 기출문제

확률변수 $X$의 확률밀도함수가 다음과 같을 때, $$f(x) = (1 + 2x^2)e^{-2x}, \quad x \ge 0$$ 위험률 함수(hazard rate function) $h(x)$의 값 $h(1)$을 구하시오. (10점)

평균이 $\theta$인 지수분포를 따르는 모집단으로부터 크기가 3인 표본을 추출하여 모평균($\theta$)을 추정하려고 한다. 모평균의 추정량으로 표본 중앙값(sample median)을 사용할 경우 편의(bias)를 구하시오. (10점)

확률변수 $X$의 적률생성함수 $M_X(t)$가 다음과 같다. $$M_X(t) = 0.1 + 0.2e^t + 0.3e^{2t} + 0.2e^{3t} + 0.2e^{4t}$$ (1) $\Pr(X \le 2)$ 값을 구하시오. (5점) (2) $X$의 분산을 구하시오. (5점)

다음과 같은 다중회귀모형이 주어졌다. $$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \epsilon_i, \quad \epsilon_i \sim N(0, \sigma^2), \quad i = 1, \cdots, n$$ 크기가 50인 표본으로부터 얻은 정보는 다음과 같다. i ) $X = \begin{pmatrix} 1 & x_{11} & x_{21} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{150} & x_{250} \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_{50} \end{pmatrix}$ ii ) $(X^T X)^{-1} = \begin{pmatrix} 0.0250 & -0.0125 & 0 \\ -0.0125 & 0.3480 & -0.0143 \\ 0 & -0.0143 & 0.0511 \end{pmatrix}$ iii ) $X^T Y = \begin{pmatrix} 80 \\ 60 \\ 10 \end{pmatrix}$ iv ) 평균제곱오차(MSE) = 72 (1) 회귀계수 $\beta_2$의 추정값을 구하시오. (5점) (2) 추정된 회귀계수 $\hat{\beta}_2$의 분산추정값을 구하시오. (5점)

피보험자의 연간 청구건수 확률변수 $N$의 분포가 다음과 같은 영수정분포 (zero-modified distribution)일 때 $p_0$값을 구하시오. (10점) i) $p_n = \Pr(N = n), \quad n = 0, 1, 2, \dots$ ii) $p_s = 3^{t-s}p_t, \quad s \ge 1, t \ge 1$ iii) $E(N) = \frac{3}{10}$