보험계리사 2차 주관식 계리모형론 2023년 기출문제

확률변수 $X$의 확률밀도함수가 다음과 같을 때, $$f(x) = (1 + 2x^2)e^{-2x}, \quad x \ge 0$$ 위험률 함수(hazard rate function) $h(x)$의 값 $h(1)$을 구하시오. (10점)

평균이 $\theta$인 지수분포를 따르는 모집단으로부터 크기가 3인 표본을 추출하여 모평균($\theta$)을 추정하려고 한다. 모평균의 추정량으로 표본 중앙값(sample median)을 사용할 경우 편의(bias)를 구하시오. (10점)

확률변수 $X$의 적률생성함수 $M_X(t)$가 다음과 같다. $$M_X(t) = 0.1 + 0.2e^t + 0.3e^{2t} + 0.2e^{3t} + 0.2e^{4t}$$ (1) $\Pr(X \le 2)$ 값을 구하시오. (5점) (2) $X$의 분산을 구하시오. (5점)

다음과 같은 다중회귀모형이 주어졌다. $$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \epsilon_i, \quad \epsilon_i \sim N(0, \sigma^2), \quad i = 1, \cdots, n$$ 크기가 50인 표본으로부터 얻은 정보는 다음과 같다. i ) $X = \begin{pmatrix} 1 & x_{11} & x_{21} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{150} & x_{250} \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_{50} \end{pmatrix}$ ii ) $(X^T X)^{-1} = \begin{pmatrix} 0.0250 & -0.0125 & 0 \\ -0.0125 & 0.3480 & -0.0143 \\ 0 & -0.0143 & 0.0511 \end{pmatrix}$ iii ) $X^T Y = \begin{pmatrix} 80 \\ 60 \\ 10 \end{pmatrix}$ iv ) 평균제곱오차(MSE) = 72 (1) 회귀계수 $\beta_2$의 추정값을 구하시오. (5점) (2) 추정된 회귀계수 $\hat{\beta}_2$의 분산추정값을 구하시오. (5점) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143) (144) (145) (146) (147) (148) (149) (150) (151) (152) (153) (154) (155) (156) (157) (158) (159) (160) (161) (162) (163) (164) (165) (166) (167) (168) (169) (170) (171) (172) (173) (174) (175) (176) (177) (178) (179) (180) (181) (182) (183) (184) (185) (186) (187) (188) 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피보험자의 연간 청구건수 확률변수 $N$의 분포가 다음과 같은 영수정분포 (zero-modified distribution)일 때 $p_0$값을 구하시오. (10점) i) $p_n = \Pr(N = n), \quad n = 0, 1, 2, \dots$ ii) $p_s = 3^{t-s}p_t, \quad s \ge 1, t \ge 1$ iii) $E(N) = \frac{3}{10}$