보험계리사 1차 객관식 보험수학 2023년 기출문제

직선 $y = x + k$와 원 $x^2 + y^2 = 8$이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 $k$값의 모든 범위로서 옳은 것을 고르시오.

극한값 $\lim_{x \to 0} (1 + 4x - 6x^2)^{(3/x)}$을 구하시오.

함수 $z = f(x, y)$는 아래의 식들을 만족할 때 $\frac{dz}{dt}$를 구하시오 (가) $\frac{\partial z}{\partial x} = y + 1$ (나) $\frac{\partial z}{\partial y} = x + y$ (다) $x = t^2$ (라) $y = 1 - t$

2차원 평면에서 정의된 곡선 $y^2 = 2x + 5$와 직선 $y = x - 5$에 의해 둘러싸인 단한 영역의 면적을 구하시오.

적분 $\int_0^1 \int_x^1 \frac{1}{1+y^2} dy dx$ 값을 구하시오.

3차원 공간에서 정의된 곡면 $z = 9 - x^2 - y^2$과 평면 $z = 0$에 의해 둘러싸인 단한 영역의 부피를 구하시오.

급수 $\sum_{x=0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 5x + 4}$ 값을 구하시오.

3차원 공간의 점 $(2, 3, 4)$에서 평면 $5x + y - z = 1$까지의 최단 거리를 구하시오.

음이 아닌 정수에서 정의된 이산확률변수 $N$이 아래의 식을 만족할 때 확률 $\Pr(N=0)$ 값을 구하시오. (가) $\Pr(N=0) = \Pr(N=1)$ (나) $\Pr(N=k+1) = \frac{1}{k}\Pr(N=k), \quad k=1, 2, 3, \dots$

확률변수 $X$의 적률생성함수가 $M_X(t) = \frac{1}{1+t}$ 일 때 $E[(X-2)^3]$ 값을 구하시오.

확률변수 $X$가 구간 $(0, 10)$에서 정의된 균등분포를 따를 때 확률 $\Pr\left(X+\frac{10}{X} > 7\right)$ 값을 구하시오.

이산확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률질량함수 $f(x, y)$가 아래와 같을 때 $E\left[\frac{X}{Y}\right]$ 값을 구하시오. $$f(x, y) = \begin{cases} \frac{2^{x+1-y}}{9}, & x = 1, 2, y = 1, 2 \\ 0, & \text{그 외} \end{cases}$$

연속확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수 $f(x, y)$와 기대값이 아래와 같을 때 공분산 $Cov(X, Y)$ 값을 구하시오 (가) $f(x, y) = \begin{cases} 6x, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{그 외} \end{cases}$ (나) $E(X) = \frac{1}{2}$ (다) $E(Y) = \frac{3}{4}$

확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수 $f(x, y)$가 다음과 같을 때 확률 $\Pr(X+Y<1)$ 값을 구하시오. $$f(x, y) = e^{-(x+y)}, \quad x > 0, y > 0$$

곡선 $y = \frac{1}{x}$과 두 직선 $x=1, x=2$ 및 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 하자. 곡선 $y = \frac{1}{x}$과 두 직선 $x=1, x=a$ 및 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 $2S$가 되도록 하는 모든 양수 $a$값의 곱을 구하시오.

미분가능한 함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 $f(x)$는 $g(x)$의 역함수이다. $f(1) = g(1) = 3$일 때, 다음 식의 값을 구하시오 $$\int_{1}^{3} \left\{ \frac{f(x)}{f'(g(x))} + \frac{g(x)}{g'(f(x))} \right\} dx$$

적률생상함수 $M_X(t) = \frac{e^{at}}{1 - bt^2}$, $-0.5 < t < 0.5$ 에 대하여 $E(X) = Var(X) = 6$ 일 때 $a+b$를 구하시오

$X_1$과 $X_2$가 확률밀도함수 $f(x) = e^{-x}$, $0 < x < \infty$를 만족하고 서로 독립일 때, $\Pr(X_1 < X_2 | X_1 < 2X_2)$를 구하시오

확률밀도함수 $f_X(x) = xe^{-\frac{x^2}{2}}$, $x > 0$를 만족하는 확률변수 $X$에 대해 $Y = \ln X$의 확률밀도함수 $f_Y(y)$를 구하시오.

아래의 조건을 만족하는 확률변수 $X$와 $Y$에 대하여 $\Pr(X > 2)$를 구하시오. $$\Pr(X \leq x, Y \leq y) = \frac{1}{250} (20xy - x^2y - xy^2)$$ 단, $0 \leq x \leq 5$, $0 \leq y \leq 5$

다음과 같은 현금흐름을 가지는 영구연금의 듀레이션 (Macaulay duration)을 구하시오. 단, 연이율은 10%이다.

매년 말 $X$를 지급하는 영구연금에 대해, $A$는 처음 $n$년간의 연금을 받고, $B$는 다음 $n$년간의 연금을 받으며, $C$는 남은 기간의 연금을 모두 받기로 하였다. $A$가 받는 금액의 현재가치가 전체 영구연금 현재가치의 45%를 차지할 때, $C$가 받는 금액의 현재가치가 전체 영구연금의 현재가치에서 차지하는 비중을 구하시오.

확정연금의 비율 $\frac{a_{\overline{5}}}{a_{\overline{6}}}$과 동일한 것을 고르시오.

이력 $\delta_t = \frac{1}{15-t}$, $0 \le t < 15$일 때 $s_{\overline{5}|}$를 구하시오.

대출금이 10년간 매 6개월마다 한 번씩 균등상환된다. 이때 $t$번째에 상환되는 금액 중 원금상환액을 $Q_t$로 나타내기로 한다. $Q_1 = 30$, $Q_{20} = 120$일 때, 연이율을 구하시오. 단, $4^{1/19} = 1.0758$이다.

아래의 조건을 이용하여 $\overline{A}_{x:\overline{10}|}$을 구하시오. (가) 모든 $x \ge 0$에 대하여 사력 $\mu_x = \mu$로 상수 (나) $\dot{e}_x = 45$ (다) $\overline{A}_x = \frac{1}{4}$ (라) $e^{-\frac{8}{9}} = 0.4111$

아래의 조건을 이용하여 피보험자 $(x)$의 $_5P_x$를 구하시오 (가) $P_{x:\overline{5}|} = 0.0724$ (나) $P_{x:\frac{1}{5}|} = 0.0702$ (다) $P(\ddot{a}_x) = 0.8$ (라) $i = 0.05$

아래의 연금공식 중에서 옳은 것을 모두 고르시오. (가) $(Da)_{\overline{n}|} = \frac{n - a_{\overline{n}|}}{i}$ (나) $(Ia)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|} - nv^n}{i}$ (다) $(Is)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot{s}_{\overline{n}|} - n}{i}$ (라) $(D\ddot{s}_{\overline{n}|}) = \frac{n(1+i)^n - s_{\overline{n}|}}{d}$

사력 $\mu_x = \frac{1}{3+x}$, $x \ge 0$일 때 $_4p_0$를 구하시오.

피보험자 ($x$)가 사망보험금 1000인 종신보험에 가입하였다. 제4보험년도말 순보험료식 책임준비금을 구하시오. (가) 보험료는 기시연납 (나) 사망보험금은 기말급 (다) $A_{x+5} = 0.398$ (라) 제5보험년도말 순보험료식 책임준비금은 77.27 (마) 연납평준순보험료는 25.43 (바) $q_{x+4} = 0.008$

아래의 조건을 이용하여 $_5E_{40}$을 구하시오 (가) $a_{40:\overline{5|}} = 3.8$ (나) $A_{40:\overline{5|}}^1 = 0.06$ (다) $d = 0.05$

사력 $\mu_x = \frac{1}{120-x}$, $0 < x < 120$ 일 때, $_{4|5}q_{40}$을 구하시오.

아래의 연금공식 중에서 옳은 것을 모두 고르시오 (가) $\ddot{a}_x = vp_x \cdot \ddot{a}_{x+1} + 1$ (나) $a_x = vp_x \cdot a_{x+1} + vp_x$ (다) $\ddot{a}_{x:\overline{n|}} = vp_x \cdot \ddot{a}_{x+1:\overline{n-1|}} + 1$ (라) $_{n|}\ddot{a}_x = vp_x \cdot _{n-1|}\ddot{a}_{x+1}$

아래의 조건을 이용하여 $A_{40:\overline{10}|}^1$을 구하시오. (가) $_{10}E_{40} = 0.45$ (나) $a_{40:\overline{9}|} = 5.30$ (다) $i = 0.05$

피보험자 ($x$)는 아래와 같은 3년만기 생사혼합보험에 가입하였다. 연납평준순보험료($P$)를 구하시오. (가) 보험료는 기시납, 납입기간은 3년납 (나) 사망보험금은 기말급으로 1000, 만기생존보험금은 이미 납입한 연납평준순보험료의 합($3P$)을 만기 생존시에 지급 (다) $q_x = 0.01$ $_1|q_x = 0.02$ $_2|q_x = 0.03$ (라) $i = 0.05$