보험계리사 1차 객관식 보험수학 2024년 기출문제

방정식 $\log_2 x + \log_x 8 = 4$의 해를 모두 더한 값을 구하시오.

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^2 + ax + b)}{x^2 + x} = 1$을 만족하는 상수 $a, b$에 대해 $a+b$의 값을 구하시오.

다음 함수가 모든 실수에 대해 미분 가능할 때, $a$와 $b$를 곱한 값을 구하시오. $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + ax, & x \le 0 \\ e^x + b, & x > 0 \end{cases}$$

타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$위의 점 $\left( \frac{3}{\sqrt{2}}, \sqrt{2} \right)$에서 접선의 기울기를 구하시오

적분 $\int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^2} \, dx$의 값을 구하시오.

적분 $\int_{a}^{a^2} \frac{1}{x \ln x} \, dx$의 값을 구하시오. (단, $a > 1$)

극한 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n+k}{3n^2 + 2kn + k^2}$의 값을 구하시오.

함수 값이 항상 양수인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대해 $\int_{0}^{x} (x-t)\{f(t)\}^2 dt = e^x + x^2 - 1$을 만족할 때, $f(0)$을 구하시오.

함수 $f(x) = \frac{e^x \sqrt{x^4 + 2}}{(x-1)^2 (x^2 + 1)^3}$에 대해 $f'(0)$을 구하시오.

수열 $a_n = \lim_{h \to 0} \left( \frac{1+nh}{1+2nh} \right)^{\frac{1}{h}}$에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$을 구하시오

확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $$f(x) = \begin{cases} kxe^{-x^2}, & x \ge 0 \\ 0, & \text{그 외} \end{cases}$$ 일 때, $P(X > 1)$을 구하시오. (단, $k$는 상수)

두 개의 상자 A와 B에 각각 4개의 공(북은 공과 푸른 공이 각각 2개씩)이 들어있다. A 상자에서 두 개의 공을 비복원으로 추출하여 B 상자로 옮긴 뒤, B 상자에서 한 개의 공을 뽑는다. B 상자에서 뽑힌 공이 붉은 공이었을 때, 처음 A 상자에서 뽑힌 두 개의 공이 같은 색이었을 확률을 구하시오.

공정한 동전을 1개 던져서 앞면이 나오면 구간 $[0,2]$에서 무작위로 한 개의 값을 뽑아 확률변수 $X$의 값으로 정의하고, 뒷면이 나오면 구간 $[1,5]$에서 무작위로 한 개의 값을 뽑아 확률변수 $X$의 값으로 정의한다. 이때 $E(X)$를 구하시오.

확률변수 $X$의 적률생성함수가 $$M(t) = \left( \frac{1}{3}e^{2t} + \frac{1}{3}e^t + \frac{1}{3} \right)^{10}$$ 일 때, $Var(X)$를 구하시오.

확률변수 $X$는 평균이 0이고, 분산이 4인 정규분포를 따른다. 이때 $Var(X^2)$을 구하시오.

확률변수 $X, Y$의 결합확률질량함수 $p(x, y)$가 $$\begin{aligned} p(0,0) &= \frac{1}{8}, \quad p(1,0) = \frac{1}{8}, \quad p(2,0) = \frac{2}{8}, \\ p(0,1) &= \frac{1}{8}, \quad p(1,1) = \frac{3}{8}, \quad p(2,1) = 0 \end{aligned}$$ 일 때, $E(Y|X > 0)$을 구하시오.

서로 독립인 확률변수 $X$와 $Y$는 각각 평균이 1인 포아송 분포를 따른다. 이때 $P(\min\{X, Y\} = 1)$을 구하시오

서로 독립인 확률변수 $X$와 $Y$가 각각 구간 $[0, 1]$과 $[0, 2]$에서 균등분포를 따른다. 이때 $P(X + Y < 2)$를 구하시오.

확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $$f(x) = \begin{cases} p, & -1 \le x \le 0 \\ 1-p, & 0 < x \le 1 \\ 0, & \text{그 외} \end{cases}$$ 이다. $Var(X) = \frac{1}{4}$을 만족하는 $p$ 값들의 곱을 구하시오.

서로 독립인 확률변수 $X$와 $Y$가 각각 평균이 1인 지수분포를 따른다. 이때 $P(|X - Y| > 1)$을 구하시오.

확률변수 $X$는 구간 $[-1, 2]$에서 균등분포를 따르고, $Y = X^2$이다. $Y$의 확률밀도함수를 $f(y)$라 할 때 $f(0.5)$를 구하시오.

확률변수 $X_1, \dots, X_5$는 서로 독립이며, 평균이 1인 지수분포를 따른다. $Y = \min\{X_1, \dots, X_5\}$일 때, $E(e^{-Y})$을 구하시오.

이력이 $\delta_t = \frac{1}{10-t}$, $0 < t < 10$일 때, $t=0$에서 투자된 원금의 가치가 $t=7$에서 20이다. $t=1$에서 이 원금의 가치를 구하시오.

다음과 같은 현금흐름에 대해 0시점에서의 가치는 $c_1a_{\overline{4}|} + c_2a_{\overline{4}|}^{(2)} + c_3\frac{a_{\overline{4}|}}{s_{\overline{2}|}}$로 주어진다. 이때 $c_1 + c_2 + c_3$을 구하시오.

연이율이 5%일 때, 다음과 같은 현금흐름의 듀레이션 (Macaulay duration)을 구하시오.

대출금을 연이율 5%로 매년 말 200씩 균등 분할 상환한다. 다섯 번째 할부금 중 이자 상환액 $I_5 = 89.75$일 때, 세 번째 할부금 중 이자 상환액 $I_3$을 구하시오.

대출금 100을 2년 동안 감채기금방법에 의하여 6개월마다 상환하려고 한다. 대출금에 적용되는 이율은 $i^{(2)} = 10\%$, 감채기금 적립시 적용되는 이율은 $j^{(2)} = 6\%$이다. 매 반기 말 상환액(원금에 대한 이자와 감채기금의 적립액의 합)을 구하시오 (단, $1.03^4 = 1.1255$)

아래의 조건을 이용하여 나이가 40세인 흡연자가 금연하지 않을 경우 20년 이내에 사망할 확률을 구하시오. (가) 비흡연자인 경우 $${}_t p_x = \left(1 - \frac{t}{100-x}\right)^2, \quad 0 \le t \le 100 - x$$ (나) 모든 나이에서 흡연자의 사력은 비흡연자의 2배임

선택기간이 1년인 선택종국모형에 대해 다음을 가정할 때, $e_{[90]}$을 구하시오. (가) $l_x = 100-x, 0 \le x \le 100$ (나) $q_{[x]} = \frac{1}{2}q_x$

아래의 조건을 이용하여 $E[K^*]$를 구하시오. (가) $l_x = 100-x, 0 \le x \le 100$ (나) $K(40)$은 40세인 사람의 장래개산생존기간(curtate future lifetime)을 나타내는 확률변수임 (다) $K^* = \begin{cases} 20, & K(40) = 0, 1, \dots, 19 \\ K(40), & K(40) = 20, 21, 22, \dots \end{cases}$

사망은 한계연령이 100인 드므와브르(De Moivre)의 법칙을 따르고 이력 $\delta = 0.05$일 때, ${}_{30|\overline{A}_{40}}$을 구하시오. (단, $e^{-1.5} = 0.2231$)

$q_x = q_{x+1} = \dots = 0.03$이고, $v = 0.95$일 때, $(IA)_{x:\overline{10|}}$을 구하시오. (단, $0.97^{10} = 0.7374, v^{10} = 0.5987$)

피보험자 ($x$)가 사망 즉시 보험금 1을 지급하는 종신 보험에 가입하였다. 아래의 조건을 이용하여 $P(Z \ge 0.9)$를 구하시오. (가) $Z$는 보험금의 현재가치를 나타내는 확률변수임 (나) $\delta = 0.05$ (다) $q_x = 0.1, q_{x+1} = 0.2, q_{x+2} = 0.3$ (라) UDD($_{t}q_{x} = t \cdot q_{x}$, $x$는 정수, $0 \le t \le 1$)를 가정함 (마) $\ln 0.9 = -0.105$

아래의 조건을 이용하여 $\ddot{a}_x$를 구하시오. (가) $p_x = 0.95$ (나) $v = 0.9$ (다) $A_{x+1} = 0.25$

아래의 조건을 이용하여 $P(Y > 10)$을 구하시오. (가) $Y$는 연액 1을 연속 지급하는 10년 보증기간부 종신연금의 현재가치임 (나) $\mu = 0.02$ (다) $\delta = 0.05$

$_k|q_x = c(0.95)^k$, $k = 0,1,\dots$이고 $i = 0.03$일 때, $1000P_x$를 구하시오. (단, $c$는 상수)

아래의 조건을 이용하여 $A_{x+10}$을 구하시오. (가) $P_{x: \overline{10}|} = 0.079$ (나) $P_{x: \overline{10}|}^1 = 0.008$ (다) $P_{\overline{10}|} \ddot{a}_x = 0.825$ (라) $d = 0.05$

피보험자 ($x$)가 보험금 1, 전기납입 완전연속 종신보험에 가입하였다. 아래의 조건을 이용하여 $\frac{Var({}_0L)}{Var(Z)}$을 구하시오. (가) $Z$는 사망보험금의 현재가치를 나타내는 확률변수임 (나) ${}_0L$은 보험사의 순미래손실의 현재가치를 나타내는 확률변수임 (다) $\mu = 0.03$ (라) $\delta = 0.06$