보험계리사 2차 주관식 계리모형론 2017년 기출문제

손해액 확률변수 $X$는 균등분포 $U(0, \theta)$, $\theta > 0$을 따른다. 다음 물음에 답하시오. (10점) (1) 사고당 정액공제(ordinary deductible)액 $d(0 < d < \theta)$ 적용 후, 손해액 확률변수 $Y_L$과 지급액 확률변수 $Y_P$를 각각 정의하고 이들의 기대값 $E(Y_L)$, $E(Y_P)$를 구하시오. (5점) (2) 사고당 프랜차이즈공제(franchise deductible)액 $d(0 < d < \theta)$ 적용 후, 손해액 확률변수 $Y_L$과 지급액 확률변수 $Y_P$를 각각 정의하고 이들의 기대값 $E(Y_L)$, $E(Y_P)$를 구하시오. (5점)

손해액 확률변수 $X_1, X_2, \cdots, X_n$은 균등분포 $U(0, \theta)$, $\theta > 0$에서 뽑은 랜덤표본이다. 다음 물음에 답하시오. (10점) (1) $Y_n = \max(X_1, X_2, \cdots, X_n)$의 기대값을 계산하시오. (5점) (2) 모수 $\theta$의 추정량으로서 $Y_n$을 사용하고자 할 때, $Y_n$의 평균제곱오차 (mean square error)를 구하시오. (5점)

A보험회사의 한 해 총 손해액을 나타내는 확률변수 $S$는 다음과 같이 정의된다. (10점) $$S = X_1 + \cdots + X_N$$ 여기서 $N=n$일 때 $X_1, X_2, \cdots, X_n$은 서로 독립이고 동질적인 분포를 따른다. $X_i, i = 1, 2, \cdots$의 누적분포함수는 다음과 같다. $$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}x + 0.3, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$$ $N$은 평균이 2인 포아송 확률변수이고 $X_1, X_2, \cdots$과 독립이다. (0,1)에서 정의되는 균등분포(uniform distribution)에서 랜덤하게 뽑은 난수가 다음과 같을 때, 0.31, 0.92, 0.72, 0.87, 0.12, 0.01, 0.62, 0.42, 0.48, 0.03 총 손해액의 관측치 두 개 ($S_1, S_2$)를 생성하려고 한다. (1) 첫 두 개의 난수 0.31과 0.92를 이용하여 빈도(frequency) $N_1, N_2$를 생성하시오. 단, $e^{-2} = 0.14$이다. (5점) (2) 나머지 난수들을 0.72부터 순서대로 필요한 만큼 사용하여 심도 (severity)를 생성하고, 총 손해액 $S_1$과 $S_2$의 값을 계산하시오. (5점)

A보험회사는 보험가입자 40명에 대해 $X$를 설명변수, $Y$를 반응변수로 하는 단순선형회귀모형($Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon, \varepsilon \sim N(0, \sigma^2)$)을 적합하려고 한다. (15점) 조사된 보험가입자 40명 중 20명의 $X$값은 18로 동일하고 10명의 $X$값은 21로 동일하며, 나머지 10명의 $X$값은 15로 동일하다. 반응변수의 관측값은 $\sum_{i=1}^{40} y_i^2 = 760, \sum_{i=1}^{40} y_i = 40$을 만족한다. 이 자료로 적합된 단순선형회귀로 산출된 오차제곱합(Sum of squares error, SSE)은 342이다. (1) 회귀직선의 기울기 $\beta_1$에 대한 최소제곱 추정량(estimator) $\hat{\beta}_1$의 표준오차(standard error)를 구하시오. (5점) (2) 설명변수 $X$와 반응변수 $Y$의 표본상관계수를 구하시오. (5점) (3) 회귀직선의 기울기 $\beta_1$의 최소제곱 추정치(estimator)를 구하시오. (5점)

A보험회사가 가입자들에게 지급한 보상액이 다음과 같다. (15점) 5, 5, 10, 10, 13, 15, 20, 20, 24, 27, 27, 28, 30, 30, 30 보상한도는 가입자에 따라 다르게 적용되었고, 밑줄 그어진 7개의 보상액은 보상한도에 따라 제한되어 지급된 보상액이다. (1) 손해액이 25보다 클 확률에 대한 Kaplan-Meier 추정치를 구하시오. (5점) (2) 손해액이 25보다 클 확률에 대한 정규근사에 의한 95% 신뢰구간을 구하시오. (단, $z_{\alpha}$가 표준정규분포의 $100(1-\alpha)$백분위수라고 할 때, $z_{0.025} = 1.96$, $z_{0.05} = 1.65$이다. 분산의 추정은 Greenwood 근사식을 이용하시오.) (5점) (3) 누적위험률(cumulative hazard rate) $H(25)$에 대한 Nelson-Åalen 추정치와 정규근사를 이용한 신뢰수준 95%의 신뢰구간을 구하시오. (5점)

암보험 가입자 10명에 대한 다음의 물음에 답하시오. (10점) (1) 각 가입자의 암 발생시간은 서로 독립이고 평균이 $λ$인 지수분포를 따른다. 이 때, 10명 중 1명이 시간구간 $(0, t]$, $t > 0$ 에서 암에 걸릴 확률을 구하시오. (5점) (2) 각 가입자의 암 발생시간은 서로 독립이고, 이 중 8명의 암 발생시간은 평균이 $λ$인 지수분포를 따르고, 나머지 2명의 암 발생시간은 평균이 $μ$인 지수분포를 따른다. 이 때, 10명 중 3명이 시간구간 $(0, t]$, $t > 0$ 에서 암에 걸릴 확률을 구하시오. (5점)