보험계리사 2차 주관식 계리모형론 2018년 기출문제

A백화점은 B보험회사와 영업배상책임보험계약을 체결하였다. 시간 $(s, s+t)$ 사이에 백화점 내에서 발생하는 배상책임 사고건수는 아래와 같이 정의되는 포아송과정 $N(t)$를 따르는 것으로 알려져 있다.

$$P(N(t+s) - N(s) = n) = e^{-\lambda t} \frac{(\lambda t)^n}{n!}, \quad s, t \ge 0, \quad n = 0, 1, 2, \dots$$

각각의 배상책임사고의 보험금 청구금액 $X_i$는 서로 독립이며 다음과 같은 분포를 동일하게 따른다.

포아송과정의 비율 $\lambda = 3.75$일 때, 시간 $(0, 12)$ 사이에서 발생하는 배상책임사고의 보험금 청구금액 합계의 분산을 구하시오. (10점)

총손실 $S$에 대해 복합모형(compound model)을 가정한다.

$$S = \sum_{i=1}^{N} X_i$$

단, 여기서 음이항분포를 따르는 $N$의 확률질량함수(probability mass function)는

$$P(N=n) = (n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n+2}, \quad n = 0, 1, 2, \dots$$

이고, $N=n$일 때 $X_i$는 서로 독립이며, 다음과 같은 분포를 동일하게 따른다.

총손실 $S$의 확률생성함수(probability generating function)를 $P_S(z)$라고 할 때 $P_S(2)$ 값을 구하시오. (10점)

조사원 홍길동은 동일한 대수의 비자율주행차(A)와 자율주행차(B), 각 집단의 연도별 사고건수에 대하여 아래와 같이 경험자료를 수집하였다.

사전분포나 모수분포에 대한 정보가 없는 상황에서 경험적 베이즈 비모수 추정(empirical Bayes nonparametric estimation) 방법으로 다음 질문에 답하시오.

(1) B집단의 연간 사고건수에 대한 표본분산(sample variance) $v_B$와 가설적 평균의 분산(variance of the hypothetical mean) $a$를 추정하시오. (5점)

(2) 신뢰도를 반영하여 B집단에 대한 4차 연도의 기대사고건수를 구하시오. (5점)

한 해 동안 A손해보험회사에 청구되는 보험금의 총합계 $S$는 다음과 같은 복합포아송 분포를 따른다.

i) $S = X_1 + \cdots + X_N$

ii) 연간 청구건수 $N$은 평균이 10인 포아송분포를 따른다.

iii) $N = n$일 때 각각의 보험금 청구금액 $X_i$는 서로 독립이며 다음과 같은 분포를 동일하게 따른다.

(1) A손해보험회사는 한 해 동안의 현금유출(원수보험금)이 현금유입(원수보험료)보다 작게 될 확률이 95%가 되도록 원수보험료 $P$를 설정하였다. 원수보험료 $P$를 구하시오. (5점)

(단, 정규근사를 이용할 수 있으며 누적표준규분포값 $\Phi(1.6449) = 0.95$ 이다.)

(2) 이후 A손해보험회사는 위험전가의 목적으로 B재보험사와 초과손해액 (excess of loss)재보험특약을 체결하였다. 초과손해액재보험특약은 각각의 사고에 대하여 적용되며, A손해보험회사의 사고당 손해액 보유한도 $L=25$이고 B재보험자의 사고당 손해액 보유한도는 무한대이다. B재보험자는 자신에게 기대되는 손해액합계에 20% 안전할증(safety loading)을 더하여 특약 재보험료 $P_R$을 설정하였다. 재보험료 $P_R$을 구하시오. (5점)

(3) 초과손해액재보험계약을 체결한 뒤 A손해보험회사가 부담하는 손해액 합계의 분산을 구하시오. (5점)

어떤 보험회사의 연도별 경과보험료는 다음과 같다.

사고연도 기준 발생손해액의 진전기간별 손해진전계수는 다음과 같이 주어져 있다.

기대손해율(expected claim ratio)이 80%일 때, 본휴에터-퍼거슨 (Bornhuetter-Ferguson) 방식을 이용하여 이 보험회사의 2017년도말 미보고 발생손해액(IBNR)을 구하시오. (10점)

화재보험을 판매하는 한국보험회사는 위험도에 따라 보험목적물의 등급요율을 2018년 현재 다음과 같이 적용하고 있다.

여기서, B등급을 기본등급(base class)으로 하며, 기본등급의 현재 요율(익스포져당 보험료)은 10이다. 이 회사는 아래와 같은 목표를 달성하기 위해 요율조정 작업을 하려고 한다.

i) 2019년도 총보험료가 25% 증가하게끔 한다.

ii) 2019년도 요율의 등급상대도(class relativity)를 다음과 같이 조정한다.

익스포져 확장법(extension of exposures method)을 이용하여 2019년도 기본등급의 조정된 요율을 구하시오. (10점)