보험계리사 2차 주관식 계리모형론 2016년 기출문제

$X$를 설명변수, $Y$를 반응변수로 하는 단순 선형 회귀 직선 모형 $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$ 을 추정하기 위해 20명의 보험 가입자들에 대해 조사한 자료는 다음과 같다. 여기서 $\epsilon$은 기대값이 0이고 분산이 $\sigma^2(> 0)$인 정규분포를 따른다.

$$\sum_{i=1}^{20} x_i = 42.604, \quad \sum_{i=1}^{20} y_i = 169.220,$$

$$\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 101.269, \quad \sum_{i=1}^{20} y_i^2 = 1704.879, \quad \sum_{i=1}^{20} x_i y_i = 393.313$$

(1) 주어진 자료를 이용하여 회귀 직선의 기울기 $\beta_1$과 절편 $\beta_0$의 최소제곱 추정치를 구하시오. (5점)

(2) 다음은 이 회귀분석에 대한 분산분석표이다.

귀무가설 $H_0: \beta_1 = 0$ 대 대립가설 $H_1: \beta_1 \neq 0$을 검정하기 위한 $t$-통계량의 값을 구하시오. (5점)

(3) 회귀 직선의 기울기 $\beta_1$에 대한 95% 신뢰구간을 구하시오. (단, $t_{\alpha}(df)$는 자유도가 $df$인 $t$분포의 $100(1-\alpha)$백분위수라고 할 때, $t_{0.025}(18) = 2.101$, $t_{0.05}(18) = 1.734$, $t_{0.025}(19) = 2.093$, $t_{0.05}(19) = 1.729$이다.) (5점)

2년 이상 운전한 우리나라 운전자들의 사고확률에 대한 자료가 다음과 같을 때 물음에 답하시오.

(1) 위의 사고확률을 마코프 사슬(homogeneous Markov chain)로 표현할 때의 전이행렬 $P$를 구하시오. (5점)

(2) 처음 운전을 시작하는 운전자의 사고 확률에 대한 다음의 정보를 이용하여, 임의의 운전자가 처음 운전을 시작한 후 3번째 해에 사고를 내고 4번째 해에 사고를 내지 않을 확률을 구하시오. (5점)

(3) 위 (1)의 전이행렬 $P$로 정의되는 마코프 사슬의 정상분포(stationary distribution)를 구하시오. (5점)

다음의 정보를 이용하여 한국보험회사가 2018년 12월 31일 결산시점까지 파산하지 않을 확률을 구하시오 (파산은 잉여금이 0보다 작아지는 것을 의미한다). (10점)

1년 동안 피보험자에게 발생한 실손의료비(질병) 사고건수와 사고 당 손해액에 대한 정보는 다음과 같다.

임의의 피보험자의 1년간 실손의료비(질병) 총손해액을 $X$라고 할 때 다음 물음에 답하시오.

(1) 총손해액 $X$의 기대값과 분산을 구하시오. (5점)

(2) 확률 $Pr(X \ge 20)$을 구하시오. (5점)

(3) 임의의 피보험자의 올해 총손해액이 $X_1 = 30$이었을 때 다음 해의 빌만신뢰도보험료(Buhlmann credibility premium)를 구하시오. (5점)

항공우주국은 내년 1년 동안 3회의 위성발사를 기획중이며 각각의 위성발사가 실패하는 경우 발생하는 재무적 위험을 보험계약으로 분산시킬 예정이다. 보험계약에 의하면 한국보험회사는 1년 동안 실행되는 총 3번의 발사 중에서 발사 실패로 인하여 발생한 항공우주국의 손실액 중 가장 큰 금액 하나만을 전액 보상하기로 하였다. 다음의 정보를 이용하여 이 보험계약의 순보험료를 구하시오. (15점)