보험계리사 2차 주관식 계리모형론 2020년 기출문제

한 해 동안 한국보험회사에 청구되는 보험금의 총합계 $S$는 다음과 같은 복합모형(compound model)을 따른다. $Var(S)$를 구하시오. (10점)

i) $S = X_1 + \cdots + X_N$

ii) 연간 청구건수 $N$은 평균이 $\lambda$인 포아송분포를 따른다.

iii) $N$은 $X_i$들과 독립이다.

iv) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $N=n$일 때, $X_1, \cdots, X_n$은 서로 독립이며 다음과 같은 분포를 동일하게 따른다.

v) $Pr(S=4) = Pr(S=3) + 6Pr(S=1)$

지난 4년간 보험계리사 시험 응시자들에 대한 합격자수를 조사한 결과가 다음 표와 같다. 다음 가설에 대한 카이제곱 검정(Chi-square test)을 유의수준 $\alpha = 0.05$에서 시행하시오. (10점)

$H_0$ (귀무가설) : 연도별로 보험계리사 합격률은 일정하다.

$H_1$ (대립가설) : 연도별로 보험계리사 합격률은 일정하지 않다.

$X$가 자유도 $n$인 카이제곱 분포를 따를 때 $Pr(X > \chi_{\alpha}^2(n)) = \alpha$를 만족하는 $\chi_{\alpha}^2(n)$의 값은 다음 표와 같다.

오메가 연구소는 4차 산업의 핵심적인 기술 분야에서 세계화 경쟁력을 갖추기 위해 다양한 첨단 장비를 도입하여 사업을 운영하고 있다. 보유한 장비들은 크게 빅데이터 처리장치, 5G 통신장비, 그리고 인공지능 모듈로 구분된다. 이 장비들의 보유 개수와 수리가 필요한 고장 발생 확률, 수리 비용에 관한 정보는 다음 표와 같다.

오메가 연구소는 1년 간 발생할 수 있는 장비의 수리비용을 일반손해보험에 가입하지 않고 연구소에서 스스로 감당하기로 하였다. 연구소는 수리비용의 변동성을 감안하여 1년 간 발생하는 모든 장비의 수리비용 총합계의 기대값에 표준편차를 더한 값으로 예산을 편성하기로 결정하였다. 편성 예산액을 구하시오. (10점)

한국보험회사는 위험도에 따라 피보험자들을 A, B, C 세 분류로 구분하고 있으며, 각각의 분류에서 피보험자들에게 발생하는 사고건수의 확률분포는 다음과 같이 알려져 있다.

최근 2년의 사고건수를 관찰한 결과는 다음과 같다.

2020년 피보험자수가 100명일 때 빌만-스트라움 신뢰도(Bühlmann-Straub credibility)를 이용한 2020년도 사고건수를 구하시오. (10점)

한국보험회사는 보유하고 있는 일반손해보험계약 각각의 손해액 $X$에 대하여 보유한도 $\theta(>0)$를 초과하는 손해액, $\max(X-\theta, 0)$을 해외 재보험자가 부담하는 초과손해액재보험 특약을 체결하였다. 재보험 특약 기간 1년 동안 발생하는 사고 중에서 보유한도 $\theta$를 초과하는 사고건수를 $N_{\theta}$라고 할 때 아래의 정보를 이용하여 $Var(N_{\theta})$를 구하시오. (10점)

i) 재보험 특약 기간 1년 동안 발생하는 사고건수 $N$은 다음과 같은 분포를 따른다.

ii) 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $N=n$일 때 $X_1, \cdots, X_n$은 서로 독립이며 다음과 같은 파레토분포를 따른다.

$$F_X(x) = 1 - \left( \frac{\theta}{x + \theta} \right)^2, \quad x > 0.$$

원수보험자 A는 2019년 자연재해를 대비해 사고 건당 보유한도를 100억원으로 하는 재산종합보험의 초과손해액재보험(Excess of Loss) 계약을 재보험자 B와 아래와 같이 체결하였다.

<초과손해액재보험 계약조건>

Layer1 : 재보험자는 원수손해액 100억원에서 200억원 미만까지 100억원 초과분의 70% 보상

Layer2 : 재보험자는 원수손해액 200억원에서 400억원 미만까지 200억원 초과분의 80% 보상

Layer3 : 재보험자는 원수손해액 400억원에서 600억원 미만까지 400억원 초과분의 90% 보상

또한 원수보험자 A는 향후 재해가 빈발할 것을 대비하여 자신이 부담하는 총손해액을 500억원 한도로 제한하는 총누적손해 초과손해재보험 (Aggregate Stop Loss) 계약을 재보험자 C와 추가로 체결하였다.

2019년 한 해 동안 태풍과 지진으로 인해 다음과 같은 보험금이 원수보험자 A에게 청구되었을 때 재보험자 C가 지급하는 재보험금을 구하시오. (10점)

한국보험회사는 아래 정보를 이용하여 다음해 생산물배상책임보험 보험료를 5% 인상할 예정이다. 현재 보상한도 1억원 계약의 기본보험료는 100,000원이다.

(1) Off-balance 계수를 구하시오. (5점)

(2) 보상한도 1억원 계약의 보험요율 실제 조정률을 구하시오. (5점)

아래의 최근 3개년 손해율 정보를 이용하여 본휴에터-퍼거슨 (Bornhuetter-Ferguson) 방법으로 사고연도 AY2020년의 최종 손해액 (Ultimate Loss)을 구하시오. (10점)

i) 요율조정 이력

ii) 경과보험료와 보고손해액(2020년 12월 31일 기준)

iii) 사고연도 기준 경과기간별 보고된 손해액 비율(최종손해율 대비)

iv) 3개년 최종 손해율