보험계리사 2차 주관식 재무관리 및 금융공학 2016년 기출문제

아래 그림을 보고 자본자산가격결정모형(CAPM)에 관한 다음 각 질문에 답하시오. (모든 계산 값은 반올림하여 소수 셋째자리까지 표시하시오.) (15점) (1) 그림에서 M은 시장포트폴리오를 의미하며 시장이 균형상태에 있다고 할 때, 포트폴리오 A, B, C, D의 베타를 각각 구하시오. 단, 그림에서 CML은 자본시장선(capital market line)을 의미한다. (4점) (2) 포트폴리오 A를 구성하시오. (5점) (3) 시장모형(market model)을 가정할 때, A와 B 수익률 간 공분산, C와 D 수익률 간의 공분산을 각각 구하시오. 단, 시장모형에서 시장포트폴리오와 오차항은 서로 통계적으로 독립적이며, 네 개의 포트폴리오 오차항들도 상호 독립적이라 가정한다. (6점)

자산가치평가이론（asset pricing theory）과 관련된 다음 각 질문에 답하시오. (모든 계산 값은 반올림하여 소수 둘째자리까지 표시하시오.) (20점) (1) 건축목재로 사용되는 나무를 재배하여 판매하는 업자가 있다고 하자. 이 나무는 시간이 지나면 성장하며, $t$시점의 나무 길이를 $X_t$라 할 때, $X_t$는 다음과 같이 산술브라운운동(ABM: arithmetic Brownian motion)을 따른다고 한다. $$dX_t = \mu dt + \sigma dW_t$$ 이 나무의 가치는 길이에 의해서만 결정되며 단위 길이 당 $1$의 가치를 갖는다. 시간 $\tau$에 $X_\tau$의 길이를 가질 때 이 나무를 잘라서 판매하면 이 나무의 현재가치($V$)는 다음과 같이 표현할 수 있다. (단, $r$=무위험이자율) $$V = e^{-r\tau} X_{\tau}$$ 이 나무의 거래에 관련된 시장참가자들이 위험중립적이라 가정할 때, 이 나무의 가치($V$)를 평가하는 과정에서 $V$가 만족해야 하는 미분방정식 (DE: differential equation)을 이토정리(Ito's lemma)를 이용하여 도출하시오. 단, 차익거래기회는 없다고 가정하며, 경계조건(boundary condition)은 생략하기로 한다. (8점) (2) (주)고려생명은 2016년 1월 1일에 명목금액 1,000억원에 대해 18개월 만기로 (주)조선생명과 금리스وا프을 체결하였다. 스وا프계약에 따르면 (주)고려생명은 (주)조선생명에 연 4%의 고정금리를 6개월마다 지급하는 대신, (주)조선생명으로부터 변동이자를 6개월마다 수취하게 된다. 현재 시장에서 현물이자율(spot rate)은 연속복리 기준으로 6개월 만기 연 5.0%, 12개월 만기 연 5.2%, 18개월 만기 연 5.5%이다. 최초의 이자교환은 계약체결 시점부터 6개월 후에 시작되며, 이자 계산은 연속복리(continuous compounding)로 한다. 이자율의 기간구조에 대해 순수기대가설(pure expectation hypothesis)이 성립하며, 시장에 차익거래기회는 없다고 하자. 이 스وا크거래의 가치(단위: 억원)를 (주)고려생명의 입장에서 선도금리계약(FRA: forward rate agreement)방법을 이용하여 계산하시오. 단, $e^{-0.05*0.5} = 0.9753$, $e^{-0.052*1.0} = 0.9493$, $e^{-0.055*1.5} = 0.9208$ (8점) (3) 현재 어떤 기업의 자산의 시장가치가 $V$, 자기자본의 시장가치는 $E$, 그리고 부채의 시장가치는 $D$라 한다. 자기자본은 자산가치를 기초자산으로 하고 부채를 행사가격으로 하는 콜옵션으로 볼 수 있으므로 Black-Scholes 모형을 이용하여 자기자본의 가치를 평가할 수 있다. 이렇게 구한 자기자본의 가치는 다음과 같다고 하자. $$E = 0.66 V - 0.73 D e^{-rT}$$ 만일 시장에서 $V$가 $D$보다 작아지는 순간 이 기업이 부도가 발생한다고 할 때, 이 기업의 위험중립 부도확률을 구하시오. 단, 이 기업은 배당을 지급하지 않으며, 부채 $D$는 일정하다고 가정한다. (4점)

금융공학을 이용한 상품개발과 거래전략에 관한 다음 각 질문에 답하시오. 단, 편의상 옵션만기까지의 화폐의 시간가치는 무시하기로 한다. (모든 계산 값은 반올림하여 소수 둘째자리까지 표시하시오.) (10점) (1) 강세 콜스프레드(bull call spread)와 약세 풋스프레드(bear put spread)를 결합하여 만들 수 있는 박스 스프레드(box spread)의 만기 시 손익을 계산하시오. 단, 강세 콜스프레드에 사용된 콜옵션가격은 C1과 C2이고, 약세 풋스프레드에 사용된 풋 옵션의 가격은 P1과 P2이다. C1과 P1 옵션의 행사가격은 K1이고 C2와 P2 옵션의 행사가격은 K2로서 K2>K1이다. (4점) (2) 보호된 콜(covered call) 전략에서 만기 시 기초 자산가격($S_T$)이 행사가격보다 클 경우 만기 시 손익을 계산하시오. 단, 행사가격은 K, 기초자산 가격의 계약 시 가치는 S, 만기 시 가치는 $S_T$, 콜 옵션의 현재 가치는 C라 하자. (3점) (3) 스트래들 매도(straddle write)전략에서 실현 가능한 만기 시 최대 이익을 계산하시오. 단, 현재 시장에서 스트래들 매도에 사용된 콜 옵션 가격은 $2.25, 풋 옵션 가격은 $1.50, 두 옵션의 행사가격은 $30.55, 기초자산의 만기 시 가격은 $30.55이다. (3점)

채권가격에 로그를 취하면 다음과 같다. $$\ln P(N, r) = A(N) - B(N)r$$ $N$은 잔존만기(time to maturity), $r$은 이자율이다. 이자율이 Vasicek 모형을 따를 때 위 채권가격은 다음과 같은 편미분방정식(*)을 만족한다. $$\frac{\partial P}{\partial r} \phi(\bar{r}-r) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2} \sigma_r^2 - \frac{\partial P}{\partial N} - rP = \frac{\partial P}{\partial r} \sigma_r \sigma_\Lambda \quad (*)$$ $\Lambda$는 할인요인(discount factor)이다. 다음 질문에 답하시오. (15점) (1) $B(N)$에 관한 상미분방정식(ODE: ordinary differential equation)을 도출하시오. (7점) (2) $dW$는 위너과정(Wiener process)이다. $d\Lambda$와 $dr$은 다음의 확률과정을 따른다. $$\frac{d\Lambda}{\Lambda} = -r dt - \sigma_{\Lambda} dW$$ $$dr = \phi(\bar{r} - r)dt + \sigma_r dW$$ 이때 $E[d(\Lambda P)] = 0$을 이용하여 채권가격 $P(N,r)$이 편미분방정식(*)을 만족함을 보이시오. (헌트: $d(\Lambda P)$에 이토정리(Ito's lemma)를 적용할 수 있음.) (8점)