보험계리사 2차 주관식 재무관리 및 금융공학 2019년 기출문제

투자자는 주식으로 구성된 포트폴리오 A를 운용하고 있다. 포트폴리오 A의 현재가치는 10억원이다. 투자자는 포트폴리오의 하방위험(downside risk)을 제한하기 위해 만기 3개월의 풋 옵션을 이용한 포트폴리오 보험(portfolio insurance)을 고려하고 있다. 풋 옵션의 기초자산은 KOSPI200 지수이다. 자본자산가격결정모형 (CAPM)이 성립하고 시장 포트폴리오는 KOSPI200 지수이다. 무위험수익률은 연 12%이고 KOSPI200 지수는 현재 500 포인트이다. 포트폴리오 A와 KOSPI200 수익률의 표준편차는 각 0.2와 0.1이고 두 수익률 간의 상관계수는 0.6이다. (단, 모든 주식은 배당이 없고 KOSPI200 지수 옵션 1 계약 당 거래승수는 10만원으로 가정한다.) (1) 포트폴리오 보험을 위해 매수해야 하는 풋 옵션의 계약 수를 구하시오. (4점) (2) KOSPI200 지수가 3개월 후 425 포인트로 하락한 경우, 자본자산가격결정 모형을 이용하여 포트폴리오 A의 가치를 구하시오. (4점) (3) 풋 옵션을 포함한 전체 포트폴리오 가치를 9.1억원 이상으로 유지하기 위해 매수해야 하는 풋 옵션 행사가격의 최소값을 구하시오. (단, 가치 계산 시 옵션 프리미엄은 고려하지 않는다.) (5점) (4) (3)에서 구한 행사가격의 풋 옵션을 (1)에서 구한 계약 수만큼 매수했다. 3개월 후 KOSPI200 지수는 425 포인트로 하락했다. 옵션 포지션의 손 ( 익과 옵션을 포함한 전체 포트폴리오의 가치를 각각 구하시오. (단, 손익 및 가치 계산 시 옵션 프리미엄은 고려하지 않고 계산 값은 반올림하여 억원 단위로 소수 둘째자리까지 표시하시오.) (2점)

선물 옵션(futures option)은 선물을 기초자산으로 하는 옵션이다. 선물가격의 시간에 따른 변화는 다음 2기간 이항모형(two-step binomial model)과 같고 1기간은 1개월이다. 무위험수익률은 연 10%이고 일일정산은 없다. (단, $exp(-0.1 \times \frac{1}{12}) = 0.9917, exp(-0.1 \times \frac{2}{12}) = 0.9835, exp(0.1 \times \frac{1}{12}) = 1.008$이다.) (1) 투자자 A는 행사가격이 49인 유럽형 선물 콜옵션(European futures call option)을 매도했다. 1개월 후 선물가격이 55인 경우 A의 매도 포지션(short position)을 헤지하기 위한 델타를 구하시오. (3점) (2) 만기 2개월, 행사가격이 49인 미국형 선물 콜옵션(American futures call option)의 현재가치를 구하시오. (8점) (3) (2)에서 구한 미국형 선물 콜옵션 가치와 풋-콜 관계 부등식을 이용하여 동일한 만기와 행사가격을 지닌 미국형 선물 풋옵션(American futures put option) 현재가치의 범위를 구하시오. (4점)

기업 A는 $K+1$개의 프로젝트로 구성된 사업 포트폴리오를 가지고 있다. 프로젝트들의 수익률은 $K+1$차원 열벨터(column vector)인 $\vec{r}$로 표현한다. $\vec{r}$의 첫 번째 원소는 $r_0$이고, 다른 원소들은 $r_i$ ($i=1, 2, ..., K$)이다. $r_0$는 기준 프로젝트(benchmark project)의 수익률이다. 나머지 프로젝트들의 초과수익률 $r_i - r_0$ ($i=1, 2, ..., K$)는 $K$차원 열벨터인 $\vec{x}$로 표현된다. (1) 기업 A의 사업 포트폴리오의 수익률은 $r_p = r_0 + \vec{w}'\vec{x}$로 표현된다. $\vec{w}' = (w_1, w_2, \cdots, w_K)$는 $\vec{w}$의 전치벨터(transpose vector)이다. $r_0$의 비중을 구하시오. (4점) (2) $r^*$는 $E(r^*\vec{x}) = \vec{0}$을 만족하는 사업 포트폴리오의 수익률이다. $r^*$가 $E(r_p^2)$을 최소화하는 사업 포트폴리오의 수익률임을 증명하시오. (4점) (3) 사업 포트폴리오 $\vec{w}^*$의 초과수익률 $x^* = \vec{w}^{*'}\vec{x}$는 $E(x^*\vec{x}) = E(\vec{x})$를 만족한다. $x^*$로 생성되는 공간에 $r_i - r^*$를 정투영(orthogonal projection; ordinary least squares regression)하면 다음 그림과 같다. 그림의 $\beta$를 구하시오. (4점) (4) (3)에서 구한 $\beta$가 $\frac{E(r_i - r^*)}{E(x^*)}$임을 증명하시오. (4점) (5) (2)와 (3)을 활용하여 $E(r^*x^*) = 0$임을 증명하시오. (4점)